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1、毕 业 论 文2009届对两个重要极限的认识系 别： 数理信息学院 专 业：数学与应用数学（师范）学 号： 05042130 姓 名： 指导老师： 完成日期： 2009年5月31日 对两个重要极限的认识摘 要在数学分析中的两个重要极限：和，在极限计算和导数公式推导过程中占有重要地位，是做微积分基础理论的重要组成部分之一.本文将从两个极限的来源，两个极限的存在性及应用三方面论述对此两种极限的认识.关键词 两个重要极限；产生；应用REREALIZATION OF TWO IMPORTANT LIMITSABSTRACTIt is known that the two fameons limits
2、and play important rols in the calculqtion of limits and the proof many derivative formulas .In the present paper ,we shall restale these two kinds of limits from its source, the existeuce and the applications.Keywords two important limits;source;applications目 录中文摘要英文摘要目录1 前言12 两个重要极的提出23 两个重要极限的存在性
3、3354 两个重要极限的主要应用668参考文献11附录12致谢13 1 .前 言我们学到过许多概念，原理，命题，公式等，诸如函数，极限，导数，微分，积分等都反映着客观事物间的普遍联系，都是来源于实践，又作用于实践.像极限概念就是由于求某些实际问题的精确解答而产生的，两个重要极限和也是如此，并不是数学家凭空想象出来的.事实上，许多实际问题都归结为这种形式的极限.如几何图形的面积，化学中元素的化合与分解，生物种群的生长和衰落以及放射性元素的衰变等.本文就是用了几个实际问题作引例，并从数学本身说明研究的必要性，使我们能更好的了解这种比较奇特的极限的实际背景和理论渊源以及应用，这不仅有利于强化数学知识
4、的应用，解决生产和生活中的实际问题，而且有利于我们学生对两个极限的掌握，不仅有利于形成运用数学知识分析和解决实际问题的能力，特别是形成数学创造能力，而且有利于提高我们学习数学的兴趣和主动性我在本文中就两个重要极限谈先粗浅的看法.2 .两个重要极限的提出第一个重要极限： . 为了导出半径为R的圆的面积，我们作圆的内接正n 边形，利用三角形和多边形的面积公式，容易计算出半径为R的圆内接正n边形的面积为：直觉告诉我们，当n越大时，从形状上看，内接正n边形的差别就越小，而从数量上看，以作为圆面积的近似值也越累越精确.但是，无论n取得多少大，只要n取定了，只能是圆内接正n边形的面积，而绝对不是圆面积.因
5、此，为了解决这一差异，只能设想n无限增大（记为n），即内接正多边形的边数无限增加.在这一无限变化的过程中，从形状上看，内接正多边形无限接近于圆，而其面积则无限接近于圆面积，而且是个确定的常数.这样一个容易被人认识和理解的实际问题给我们2点实质性的启示：第一，随着n增大，内接正n边形的面积不断地增大，我们不可能指出哪一个量是它们变化的最后一个量.第二，当n无限增大的时候，无限接近于一个确定的常数，这个确定的常数理所当然的应该就是圆的面积. 这不仅为建立数列极限的概念奠定了基础，而且提出了一个奇特的极限，这正是第一个重要极限的变形.例2，研究正弦函数y=sinx在点x处的变化率，我们先计算出当自变
6、量在点x处有一改变量时，相应的函数的该变量，于是，相应的平均变化率，从而，.可见，要研究函数y=sinx在点x处的变化率，即要推出导数（sinx）,关键是要探求极限或者，其中h=.这正是所谓的第一个重要极限.从这里也可以看出，数学本身的要求导致对这种极限的研究.1.2 第二个重要的极限：例3. 储蓄问题.设有本金a元，年利率为p，则经过一年后本息为，经过2年后，本息为,据此，经过t年后，本息为，这正是代数中的“复利公式”.如果换一种思考方法，每月计算一次利息，即每年计算12次利息，那么，这时每次计算时的利息为，t年共有12t次，从而本息应为，同样，如果每天计算一次利息，则本息.事实上，如果每年
7、计算n次利息，则利息的比数也变小，由变为，而表示总的时间的数值变大，由t变为nt，则本息为，其中，k=.当计算利息的次数n无限增加时，本息的精确值应为极限，k=.令，当n，从而，这里就出现了又一个奇特的极限，其实，这正是第二个重要极限的特殊情况.引例4，研究函数在点x处的变化率.如同引例2，先计算出，后计算比值.于是，极限.可见，要研究函数在点x处的变化率，关键是探求极限，或者，其中，.当0时，这再次出现了第二个重要极限.3 .两个重要极限的存在性3.1从数值模拟来看两个极限的存在性例1和例3从实际问题归纳提出了两个奇特的极限和，例2和例4则从数学本身研究的需要也归纳为探求这样两个极限.因此，
8、研究这两个极限的首要问题是他们的存在性，根据极限存在的准则，可以严格地从理论上证明极限，但考虑到专业，层次的特点和需要，本着基础理论适度够用的原则，严格的理论证明可以简单化.为了说明两个极限的存在，可以用列表的办法引导我们在学习中通过观察变量的变化趋势和规律，归纳总结出结论.表格1：(见附录一)表格2见附录二）从表格1可以看出，当时，.又令t=-x, 则，且时，所以，.从而，.从表格2中也可以看出，当x取正整数且无限增加时，单调增加且有界，根据极限存在的单调有界原理，它必有极限，设为，又x取负整数，且x的绝对值无限增加时，单调减少且有界，所以它必有极限，设为 即： 又有， 如果令，则，从而，.
9、于是，=1，即A=B.注意到，所以，存在，记这个极限为e,于是，则时，从而 另外，如果时，则，其中t=a(x).同时，如果时，则，其中s=u(x). 如果时，则，其中y=v(x).3.2 两个极限的理论证明首先我们来证明.要证明此极限成立只要能证明即可.极限的数值实质上是函数sinx在特殊点z一0的导数，或者说是正弦曲线在原点的切线斜率，但这只能帮助认识极限的意义，求不出其具体数值.在学习微积分甚或有三角函数概念之前，我们知道的sinz只是直角三角形两边的比，z只是一个角度，如何能想到它们的比值极限是多少,这就需要从几何上直观地看在附图中圆半径为1，圆心角z也就等于它所对的圆弧（长)，相应的弦
10、(图中虚线)在铅垂方向的投影(的长度)就等于正弦sin ，与其平行的切线就是正切tanx当圆心角z极其微小时，相应圆弧z虽仍然变曲，但由图可见，它与相应的切线tanx(一段直线)几乎相等，而弦线与切线段tanx和正弦线sinx二者都几乎相等z无限小下去时，弦与这二者夹角又趋于0，因而弧与相应切线段和正弦线段就完全一样了，这就说明比值和的极限都该为1极限都该为1回忆教本上的相应内容，也是根据同样的观察和思路，从所得的一个不等式.所以可得.从而它对一切满足不等式的x都成立，由及函数极限的迫敛性可以得到.对于的证明，我们只要能同证明一下两个极限： , (a) e, (b) 先利用数列极限证明（a）成
11、立.为此我们作定义在1, 上的两个阶梯函数如下：f(x)=, ,n=1,2,.,g(x)= ,n=1,2,.,易知f为增函数且有界，g为减函数且有下界，与都存在，由归结原理得到另一方面，当有以及所以有f(x) g(x).从而根据迫敛性可证明,成立. 现在证明(b)，我们作代换x=-y,则.当时，所以有.所以综合上面所述也成立.4 .两个重要极限的主要应用4.1两个重要极限在微分学中的应用微分学的基础概念导数是建立在极限概念基础上的，即求一个函数f(x)在点x的导数f(x),就是计算极限 (1) 当这一极限存在时，其值就是f(x),如果求函数的导数都要从计算极限（1）开始，那么势必限制导数的广泛
12、应用，事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限（1）开始，而只需要根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便的求得任何一个初等函数的导数，我们来看看这一整套基本求导公式是如何来的. 首先，看正弦函数sinx的求导公式由导数定义有： 其中应用了第一个重要极限，即 （u=,0时，u0）求得=cosx后，其余三角函数和反三角函数的导数公式便不难得出了.其次，再看对数函数linx的求导公式，由导数定义 其中应用了第二个重要极限 即： （求得了后，指数函数和幂函数（指数为非正整数的情况下）以求导公式便不难得出了. 可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式过程中，特别是涉及三角函数与对数函数的求导中起着关键性的作用，没有重要极限，两类函数的求导公式就很难得出. 4.2两个重要极限在计算极限中的应用 第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限，若分子分母分别求极限便得到这一不确定的结果.因此称这一类型的极限为（）型不定极限.类似第二个极限属于（）型不定型极限.综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的（）型极限和（）型极限，我们都可不妨分别应用两个重要极限来试试，看能否得出他的结果，以下举一些例子来说明是如何应用这两个重要极限于极限计算中的.例1 求解：这显然是含三角函数的（）型极限.因为 当，由第一个重要极限及其一般形式立刻得到：=1*1*1=1例2
