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1、高考数学精品复习资料 2019.52.圆锥曲线1.(20xx福建厦门第一中学期中)已知椭圆C1:1(ab0)右焦点F是抛物线C2:y24x的焦点,M是C1与C2在第一象限内的交点,且.(1)求C1的方程;(2)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆C1上,顶点B,D在直线7x7y10上,求直线AC的方程.解(1)设M(x1,y1)(x10,y10),椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,由题意知点F2即为点F(1,0).由抛物线的定义,|MF2|x11x1,因为y4x1,所以y1,即M,所以|MF1|,由椭圆的定义得2a|MF1|MF2|4a2,所以b,所以椭圆C1的方程为1.(2)因为直线BD的方程
2、为7x7y10,四边形ABCD为菱形,所以ACBD,设直线AC的方程为yxm,代入椭圆C1的方程,得7x28mx4m2120,由题意知,64m228(4m212)0m.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1x2,y1y22m(x1x2)2m,所以AC中点的坐标为,由四边形ABCD为菱形可知,点在直线BD上,所以7710m1.所以直线AC的方程为yx1,即xy10.2.(20xx湖南师大附中月考)已知椭圆C的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆E:(x1)2y21的圆心.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线,分别交y轴于点M,N.试推断是否存
3、在点P,使|MN|?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设椭圆方程为1(ab0),半焦距为c,因为椭圆的右焦点是圆E的圆心,所以c1,因为椭圆的离心率为,则,即ac,从而b2a2c21,故椭圆C的方程为y21.(2)设点P(x0,y0)(x00),M(0,m),N(0,n),则直线PM的方程为yxm,即(y0m)xx0ymx00.因为圆心E(1,0)到直线PM的距离为1,即1,即(y0m)2x(y0m)22x0m(y0m)xm2,即(x02)m22y0mx00,同理可得,(x02)n22y0nx00.由此可知,m,n为方程(x02)x22y0xx00的两个实根,所以mn,mn
4、,|MN|mn|.因为点P(x0,y0)在椭圆C上,则y1,即y1,则|MN|,令,则(x02)29,因为x00,则x01,y1,即y0,故存在点P满足题设条件.3.(20xx河南豫北名校联盟对抗赛)已知点P是椭圆C上任意一点,点P到直线l1:x2的距离为d1,到点F(1,0)的距离为d2,且,直线l与椭圆C交于不同的两点A,B(A,B都在x轴上方),且OFAOFB180.(1)求椭圆C的方程;(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时,求直线l的方程;(3)对于动直线l,是否存在一个定点,无论OFA如何变化,直线l总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设P(x,y)
5、,则d1|x2|,d2,化简得,y21,椭圆C的方程为y21.(2)A(0,1),F(1,0),kAF1,又OFAOFB180,kBF1,直线BF的方程为y(x1)x1,代入y21,解得(舍),B,kAB,直线AB的方程为yx1,即直线l的方程为x2y20.(3)方法一OFAOFB180,kAFkBF0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为ykxb,将直线AB的方程ykxb代入y21,得x22kbxb210.x1x2,x1x2,kAFkBF0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)2kx1x2(kb)(x1x2)2b2k(kb)2b0,b2k0,直线AB的方程为yk(x2
6、),直线l总经过定点M(2,0),方法二由于OFAOFB180,点B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设A(x1,y1),B(x2,y2),B1(x2,y2),直线AF方程为yk(x1).代入y21,得x22k2xk210.x1x2,x1x2,kAB,直线AB的方程为yy1(xx1),令y0,得xx1.又y1k(x11),y2k(x21),x2.直线l总经过定点M(2,0).4.(20xx广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考)已知抛物线y24x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若3,求直线AB的斜率;(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面
7、积的最小值.解(1)依题意可设直线AB:xmy1,将直线AB与抛物线联立y24my40,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得3,y13y2,m2,直线AB的斜率为或.(2)S四边形OACB2SAOB24,当m0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.5.(20xx惠州模拟)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),点A在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M,N时,能在直线y上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解(1)设椭圆C的
8、焦距为2c,则c1,因为A在椭圆C上,所以2a2,因此a,b2a2c21,故椭圆C的方程为y21.(2)椭圆C上不存在这样的点Q,理由如下:设直线的方程为y2xt,设M(x1,y1),N(x2,y2),P,Q(x4,y4),MN的中点为D(x0,y0),由消去x,得9y22tyt280,所以y1y2,且4t236(t28)0,故y0且3t3.由,得(x4x2,y4y2),所以有y1y4y2,y4y1y2t.(也可由知四边形PMQN为平行四边形而D为线段MN的中点,因此,D也为线段PQ的中点,所以y0,可得y4.)又3t3,所以y41,与椭圆上点的纵坐标的取值范围1,1矛盾.因此点Q不在椭圆上,
9、即椭圆上不存在满足题意的Q点.6.(20xx河南开封月考)如图,已知圆E:(x)2y216,点F(,0),P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1)求动点Q的轨迹的方程;(2)已知A,B,C是轨迹的三个动点,点A在一象限,B与A关于原点对称,且|CA|CB|,问ABC的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值及相应直线AB的方程;若不存在,请说明理由.解(1)Q在线段PF的垂直平分线上,|QP|QF|,得|QE|QF|QE|QP|PE|4,又|EF|24,Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆,:y21.(2)由点A在第一象限,B与A关于原点对称,设直线AB的方程为ykx(k0),|CA|CB|,C在AB的垂直平分线上,直线OC的方程为yx.(14k2)x24,|AB|2|OA|24,同理可得|OC|2,SABC|AB|OC|4,当且仅当k1时取等号,SABC.综上,当直线AB的方程为yx时,ABC的面积有最小值.