《(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：8.4.1平面Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：8.4.1平面Word版含答案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、& 4空间点、直线、平面之间的位置关系& 4.1 平面自主学习导I学聚I焦考点学习目标核心素养平面的概念了解平面的概念，会用图形与字母表示平面直观想象点、线、面的位置关系能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系直观想象三个基本事实及推论能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用直观想象、逻辑推理硏读导学尝述预习教材P124- P127的内容，思考以下问题:1.教材中是如何定义平面的？2 .平面的表示方法有哪些？3 点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示?4 .三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？、新知初探/尹1 .平面(1) 平面的概念几
2、何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的平 面是向四周无限延展的.(2) 平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向.(3) 平面的表示方法我们常用希腊字母 a, 3 , Y等表示平面，如平面 a、平面氏平面丫等，并将它写在代 表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的 两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面a，也可以表示为平面 ABCD、平面AC或者平面BD .2zzzc名师点拨 (1) 平面和点、直线一样，是
3、只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量.(2) 平面无厚薄、无大小，是无限延展的.2 .点、线、面之间的关系及符号表示A是点，I, m是直线，a , 3是平面.文字语言付号语言图形语言A在1上A 土 IAIA在1夕卜A?IAtA在a内A aA在a外A? aI在a内I? aI在a外I? aX_/I, m相交于AI Am= AI, a相交于AI Cl a= Aa,3相交于1aCl 3= Iyw名师点拨 从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1) 直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“或“ ？ ”表示.(2) 平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关
4、系，用“”或“？表示.(3) 直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“？ ”或“表示.3. 平面的性质基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A, B, C三点不共线 ?存在唯一的平面 a 使 A, B, C a基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内A l , B l，且 A a,B a?l? a基本事实3如果两个不重合的平 面有一个公共点，那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线P a,且 P 价 aQ B=l，且 P l名师点拨在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，
5、通常把被挡住的，图所示:部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些.如下图4. 平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.如图(1).推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.如图(2).推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.如图(3). 自我检测0判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.()(2) 22个平面重叠起来要比 10个平面重叠起来厚一些.()(3) 直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为 a Q b = A.()2平面ABCD的面积为100 m .()(5) 过三点A, B,
6、 C有且只有一个平面.()答案： X (2) X (3) V (4) X (5) X因 若一直线a在平面a内，则正确的图形是()解析：选A.选项B, C, D中直线a在平面a外，选项A中直线a在平面a 内.如图所示，下列符号表示错误的是()A . I aB . P?lC. l? a解析：选A.观察图知：P?l, P a, I? a,则I a是错误的.下面是一些命题的叙述语 (A, B表示点，a表示直线，a, B表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是()A .因为A a,B(嘉所以AB aB .因为a a,a 3，所以aA 3= aC.因为A a,a? a,所以A aD .因为A?a,a? a
7、,所以A? a解析：选C.对于A，直线AB在平面a内，应为AB? a,故A错误;对于B，直线a在平面 a B内，应为a? a, a? 故B错误;对于C,因为A a, a? a,所以A a，故C正确；对于D , A?a , a? a ,有可能A a,故D错误.故选C.直线和平面之间的 已知如图，试用适当的符号表示下列点、 系：(1) 点C与平面肢.(2) 点A与平面a: .(3) 直线AB与平面a： .直线CD与平面a: 平面a与平面3： .答案：(1)C?3(2) A? a (3)ABA a= B (4)CD? a (5) a A 3 = BD探究案*探究点图形、文字、符号语言的相互转化例1(
8、1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形.平面ABD与平面 BDC交于BD，平面 ABC与平面 ADC交于 AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示.aA 3 = l， A l, AB ? a , AC? 3 .【解】(1)符号语言表示： 平面ABD A平面BDC = BD,平面ABC A平面ADC = AC.用图(2)文字语言叙述为：点形表示如图所示.A在平面a与平面3的交线I上，直线AB, AC分别在平面a,3内，图形语言表示如图 所示.图三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关
9、系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示.i 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.(1)点P与直线AB; 点C与直线AB;点M与平面AC;点Ai与平面AC;(5) 直线AB与直线BC;(6) 直线AB与平面AC;(7) 平面AiB与平面AC. 解：点P 直线AB.点C?直线AB.点M 平面AC.点Ai?平面AC.直线AB A直线BC =点B.直线AB?平面AC.平面AiB门平面AC =直线AB.2 .根据下列条件画出图形：平面aQ平面 3=直线 AB，直线a? a，直线b? 3 , a / AB, b/ AB.
10、解：图形如图所示.探究点 点、线共面问题例m 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.求证：直线11, 12, 13在同一平面内.【解】 已知：如图所示，1小12= A,123= B,丨1口3= C.证明：法一：（纳入平面法）因为1iQ12 = A,所以11和12确定一个平面 a因为 I2QI3 = B,所以 B 12.又因为12? a,所以B a同理可证C a.又因为B 13, C 13,所以13? a.所以直线1i, 12 , 13在同一平面内.法二：（辅助平面法）因为1i Q12 = A,所以11, 12确定一个平面 a因为 I2QI3 = B,所以12, 13确定一个平面 3因为
11、A 12, 12? a,所以 A a.因为 A 12, 12? 3,所以 A 3同理可证 Ba, B 3, C a , C 3.所以不共线的三个点 A , B , C既在平面a内，又在平面3内.所以平面a和B重合，即直线11, 12, 13在同一平面内.例0|CAA1跟踪训练平面a, B重合.平面.证明：如图所示.由已知 a / b,所以 A a, B a ,且 A 1, B 1 ,所以1? a.即过a , b , 1有且只有一个平面.探究点蜃三点共线、三线共点问题1所以EF丿2DiC ,所以E , F , Di, C四点共面,可设 DiF ACE = P.又 DiF?平面 AiDiDA ,
12、CE?平面 ABCD ,所以点P为平面Ai Di DA与平面ABCD的公共点.证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法:先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法:已知直线a / b,直线I与a , b都相交，求证：过 a , b , 1有且只有一个设 a A 1 = A , bAI= B ,先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面3,最后证明所以过a , b有且只有一个平面a如图所示，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别为AB、的中点求证：CE , DiF , DA三线交于一点.【证明】 连接EF , DiC , AiB ,因为E为AB的中点,iF为AA
13、i的中点，所以 EFJAiB.又因为AiBDiC ,又因为平面 AiDiDA门平面ABCD = DA ,所以据基本事实3可得P DA,即CE , DiF , DA三线交于一点.互动探究变条件、变问法若将本例条件中的“ E, F分别为AB, AAi的中点”改成“ E, F分别为AB, AAi上的点，且 DiFA CE = M”，求证：点 D、A、M三点共线.证明：因为DiF ACE= M ,且DiF?平面 AiDiDA，所以 M 平面 AiDiDA ,同理M 平面BCDA ,从而M在两个平面的交线上,因为平面 AiDiDA A平面BCDA = AD ,所以M AD成立.所以点 D、A、M三点共线.(1)证明三点共线的方法方法:这两牛平面的輕共点，根播基本事实3可知 i这些点截在诵个平面的交張上；方法二注諒丑卡商煎蔬元一示五鼻 扭后证明期点也住此頁践上:(2)证明三线共点的步骤歩骡一师明话斥丘義戾帝区赛于二羡i.如图，已知平面涉骡二歩骤三说明这个点在另萌个甲面上，井且这两个乎面相
