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1、必修1第一章集合与函数基础知识点整理姓名：沈金鹏院、系：数学学院专业：数学与应用数学2015年10月2日必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲1.1.1集合的含义与表示。学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.。知识要点：1 .把一些元素组成的总体叫作集合(set),其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性2 .集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来，基本形式为a1,
2、a2,a3,an,适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为xwA|P(x),既要关注代表元素x,也要把握其属性P(x),适用于无限集.-一一*.3 .通常用大写拉丁字母A,B,C,一表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N,正整数集N或N+，整数集Z,有理数集Q,实数集R.4 .元素与集合之间的关系是属于(belongto)与不属于(notbelongto),分别用符号w、皂表示，例如3WN,-2-N.。例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7
3、的整数.解：(1)用描述法表示为：xWR|x(x22x_3)=0；用列举法表示为0,-1,3.(2)用描述法表示为：xWZ2x7；用列举法表示为3,4,5,6.【例2】用适当的符号填空：已知A=x|x=3k+2,kWZ,B=x|x=6m1,mwZ,则有：17A;-5A;17B.解：由3k+2=17,解得k=5WZ,所以17亡A;由3k+2=5,解得k=7eZ,所以一5正A；3由6m1=17,解得m=3WZ,所以17三B.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：(教材P6练习题2,P13A组题4)(1) 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合；2(2) 一次函数y=x4的函数值组
4、成的集合；2(3)反比例函数y=的自变量的值组成的集合.-y=x3解：(1)(x,y)|f。4=(1,4).y=-2x6(2)y|y=x2-4=y|y之T.2(3) x|y=x|x#0.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为1,4,也注意对比(2)与(3)中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心*【例4】已知集合A=a|Ta=1有唯一实数解,试用列举法表示集合A.x-2xa.2解：化万程2一=1为：xx(a+2)=0.应分以下三种情况：x-2方程有等根且不是U2：由=。，得a=2,此时的解为x=,合.42方程有一解为衣，而
5、另一解不是一衣：将x=72代入得a=r/2,此时另一解x=1_J2,合.方程有一解为22,而另一解不是J2：将x=2代入得a=y/2,此时另一解为x=?+1,合.综上可知，a=-1,_短,枢.4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第2讲1.1.2集合间的基本关系。学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.。知识要点：1 .一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subs
6、et），记作AJB（或BmA）,读作“A含于B”（或B包含A）.素是2 .如果集合A是集合B的子集（A3B）,且集合B是集合A的子集（B=A）,即集合A与集合B的元一样的，因此集合A与集合B相等，记作A=B.3 .如果集合AB,但存在元素xWB,且xA,则称集合A是集合B的真子集（propersubset）,记作B（或BA）.4 .不含任何元素的集合叫作空集（emptyset）,记作空,并规定空集是任何集合的子集5 .性质：A3A；若AQB,BJC,则AJC；若A|1b=A,则AGB；若aUb=A,则B=A.。例题精讲：【例1】用适当的符号填空:(1) 菱形(2)解：（1）五,二,平行四边形;
7、x R| x 2 = 0；卓；6 , 圣，U等腰三角形等边三角形.0一 0；00 ； N0.【例 2 * *】设集合 A=x|x=n,nWZ, B =x|x =n+：,nw,则下列图形能表示 A与B关系的是（）.abA.B.解：简单列举两个集合的一些元素,C.31.A =，-二 一1,二,0,二222D.331/，二，,，B =，一二22 21，1，), 2 21. 11 .1.右N三M，满足一=2或一=一3 ,斛得a =或a =(ii)若 a =0 时，得 N =-点评：在考察“ A3 B ”这一关系时，不要忘记“ 论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A= a,a+b
8、,a+2b, B= a,ax,ax2.0 ，因为a=。时存在AC b.从而需要分情况讨若A=B,求实数x的值.易知B星A,故答案选A.另解：由B=x|x=2n1,nWZ，易知B屋A,故答案选A.2【例3】若集合M=x|xa+x6=0,N=x|ax1=0,且N=M,求实数a的值.解：由x2+x6=0=x=2或3,因此，M=2,3.(i)若a=0时，得N=0,此时，NEM；.mab=ax22解：右W2na+ax-2ax=0,所以a(x-1)=0,即a=0或x=1.a2b=ax2当a=0时，集合B中的元素均为0,故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.1，一一2若a1ax=2ax2-ax-
9、a=0.a2b=ax因为a*0,所以2x2xi=0,即(x-1)(2x+1)=0.又xw1,所以只有x=.2经检验，此时A=B成立.综上所述x=2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合第3讲1.1.3集合的基本运算(一)。学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义, 个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 象概念的作用.会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽。知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次.下面以表格的形
10、式归纳三种基本运算如下并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(unionset)由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集(intersectionset)对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)记号AUB(读作“A并B”)ADB(读作“A交B”)eUA(读作“A的补集”)符号A|JB=x|xWA,或xWBAP|B=x|xWA,且xWB3uA=x|xWU,且x正A图形表小。例题精讲：【例1】设集合U=R,A=x|ExE5,B=x|3x9,求AHB,
11、eU(AUB).C =乜4,5,6 ,求:-1359解：在数轴上表示出集合A、B,如右图所示：ApB=x|3x5,Cu(AUB)=xx1,或x之9,【例2】设A=xWZ|x|W6,B=1,2,3),(1) Apl(BnC)；(2)AneJBjC).解：A=-6,42,1,0,123,4,5,6卜(1)又TBP|C=也,.AKBpC)=七;(2)又VBUC=1,2,3,4,5,6,得Ca(BUC)-6,-5,-4,-3,-2,-1,0j.aPICaIbUc)=1-5,Y,-3,-2,-1,01.【例3】已知集合A=x|-2x4,B=x|xEm,且aDb=A,求实数m的取值范围,B=1,3,5,8
12、,求 Cu(aU B) , Cu(AB),解：由A)B=A,可得A三B.在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示：由图形可知，m-4.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题【例4】已知全集U=x|x10,且x=N,A=2,4,5,8(CuA)n(CuB),(CjA)U(CuB),并比较它们的关系.解：由AJB4123,4,5,8,则CU(AUB)=6,7,9.由Ap|B=5,8，则Cu(AHB)=123,4,6,7,9由CuA=1,3,6,7,9,CuB=2,4,6,7,9,则(CuA)n(CuB)=6,7,9,(CuA)U(Cu
13、B)=123,4,6,7,9.由计算结果可以知道，(CuA)|J(CuB)=Cu(AdB)，(CuA)p(CuB)=Cu(AB).另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果点评：可用Venn图研究(CuA)U(CuB)=Cu(A。B)与(CuA)H(CuB)=Cu(AjB),在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题第4讲1.1.3集合的基本运算(二)。学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.。知识要点：1 .含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图
14、理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：Cu(APlB)=(CuA)J(CuB),Cu(AljB)=(CuA)Q(CuB).2 .集合元素个数公式：n(AUB)=n(A)+n(B)n(ARB).3 .在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.。例题精讲：【例1】设集合A=2a1,a2,B=19,a5,1a,若AP|B=9,求实数a的值.解：由于A=,2a1,a2,B=9,a5,1a,且aP|B=9,则有：当2a-1=9时，解得a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,4,不合题意，故舍去；当a2=9时，解得a=3或-3.a=3时，A=-4,5,9,B=9,2,2,不合题意,故舍去;a=3,A=-4,7,9,B=9,-8,4,合题意.所以，a=-3.【例2】设集合A=x|(x3)(xa)=
