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1、课时分层训练(三十七)数学归纳法A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是()A1B2C3D4Cn1时，212,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立n的第一个取值应是3.2一个关于自然数n的命题，如果验证当n1时命题成立，并在假设当nk(k1且kN*)时命题成立的基础上，证明了当nk2时命题成立，那么综合上述，对于()A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立D以上都不对B本题证的是对n1,3,5,7，命题成立，即命题对一切正奇数成立3在数列an中，a
2、1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C.DC由a1，Snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.4凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为() 【导学号：57962322】Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2C边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n1)条5用数学归纳法证明3(27k)能被9整除，证明nk1时，应将3(27k1)配凑成()A6217kB3(27k)21C3(27k)D21(27k)36D要配凑出归纳
3、假设，故3(27k1)3(277k)6217k21(27k)36.二、填空题6用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真. 【导学号：57962323】2k1n为正奇数，假设n2k1成立后，需证明的应为n2k1时成立7用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_(k21)(k22)(k1)2当nk时左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.8已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，
4、f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_f(2n)(n2，nN*)因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN*)三、解答题9用数学归纳法证明：12(nN*，n2)证明(1)当n2时，12，命题成立.3分(2)假设nk时命题成立，即12.6分当nk1时，120)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an的通项公式，并加以证明解(1)a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.5分(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an(n1)n2n.7分下面用数学归纳法证明：当n1,2
5、,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kN*)时等式成立，即ak(k1)k2k，9分那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以当nk1时，猜想成立，由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nN*，0).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4时，f(n)_(用n表示). 【导学号：57962324】5(n1)(n2)(n3
6、)f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)(n3)3设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解(1)由题意知S24a320，S3S2a35a320.2分又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上知，a13，a25，a37.5分(2)由(1)猜想an2n1，下面用数学归纳法证明当n1时，结论显然成立；7分假设当nk(k1)时，ak2k1，则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得2ak14k6，10分ak12(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，任意nN*，an2n1.12分
