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1、第一章 证明（二）本章视点视点1 本章概述 本章从各公理出发，展开了对一些图形性质的严格证明本章证明的命题大都与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括：等腰三角形(含等边三角形)的性质定理及判定定理；直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理视点2 本章学习重难点 【本章重点】等腰三角形的性质定理及判定定理；直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理 【本章难点】直角三角形性质定理及判定定理的应用；反证法的理解与应用 【学习本章应注意的问题】 1经历猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性
2、 2加强探索证明的不同思路和方法，提倡证明的多样性 3注重用规范的数学语言表述论证过程 4注意体会数学思想在解决问题中的作用视点3 中考透视 从近几年的中考试题可以看出，用等腰三角形的性质和判定结合线段垂直平分线、角平分线以及全等三角形的有关知识命题，以中档解答题、证明题较为常见，另外，以有关线段垂直平分线、角平分线为主要内容的实际应用作图题在中考中有所增加，此部分内容以考查动手操作能力和应用创新能力为主，应引起高度重视第1节 你能证明它们吗新课导读 情境引入【问题链接】如右图所示，很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架【问题探究】上面叙述的人字形梁架是由哪些图形组成的呢?它们
3、有哪些性质?教材解读 精华要义知识点1 等腰三角形的性质定理 重点：灵活运用等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)用符号语言表示为：如图11所示，在ABC中，ABAC，BC定理的证明： 取BC的中点D，连接AD ABDACD(SSS)BC(全等三角形的对应角相等)定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等知识拓展 等腰三角形还具有其他性质(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为A，底角为B
4、，C，则A180BC1802B1802C探究交流 想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？点拨 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图12所示.ABDACD(SAS).BC(全等三角形的对应角相等).知识点2 等腰三角形的性质定理的推论 重点：理解推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)(1)用符号语言表示为：如图13所示，在ABC中，ABAC，12，ADBCBDDC；在ABC中，ABAC，ADBC，12，BDDC；在ABC中，ABAC，BDDC，12，ADBC(2)推论1的证明在ABC中，ABAC，12，ADAD，ABDACD(SAS
5、)BDDC，ADBADC90ADBC在ABC中，ADBC，ADBADC90ABAC，BC又ADAD，RtADBRtADC(AAS)12，BDCD在ABC中，ABAC，ADAD，BDCD，ABDACD(SSS)12，ADBADC90，ADBC.(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60(1)用符号语言表示为：如图14所示，在ABC中，ABBCAC，ABC60(2)推论2的证明：ABAC，BCABBC，ACABC又A+B+C180，即3A180，ABC60探究交流 如图15所示，在ABC中，ABAC，如果ABDABC，ACEACB，那么B
6、DCE吗?点拨 BDCEABAC(已知)，ABCACB(等边对等角)ABDABC，ACEACB(已知)，ABDACE(等量代换)在ABD和ACE中，ABDACE(ASA)，BDCE(全等三角形对应边相等)知识点3 等腰三角形的判定定理 重点：灵活运用等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)用符号语言表示为：如图16所示，在ABC中，BC，ABAC判定定理的证明：如图16所示过A作ADBC于D，则ADBADC90BC，ADAD，ABDACD(AAS)，ABAC判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等知识拓展 如图16所示，在ABC中，(1)如果ADBC，12，
7、那么ABAC；(2)如果ADBC，BDDC，那么ABAC；(3)如果12，BDDC，那么ABAC探究交流 如图17所示，在ABC中，如果12，BDDC，那么ABAC吗？点拨 ABAC过点B作BEAC交AD的延长线于E，E212，E1，ABBE在ADC和EDB中，2E，ADCEDB，BDDC，ADCEDB，ACBE，ABAC知识点4 等腰三角形的判定定理的推论 重点：掌握推论1(1)推论1的内容：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图18所示，ABC中，ABAC，A60(或B60或C60)，ABACBC(3)推论1的证明：在ABC中，ABAC，BC又A60，BC60
8、ABACBC(或B60，A1802B60ABACBC或C60，A1802C60ABACBC)推论2(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图18所示，在ABC中，ABC，ABACBC(3)推论2的证明：在ABC中，AB，BCAC(等角对等边)又BC，ABAC(等角对等边)ABACBC(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形知识拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60；(3)根据推论2，证明三个角都相等推论3(1)推论3的内容：在直角三角形中
9、，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半(2)用符号语言表示为：如图19所示，在RtABC中，C90，A30，BCAB (3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍 知识点5 反证法 了解先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法知识拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是： (1)假设命题不成立； (2)从假设出发推导出矛盾； (3)否定假设，从而肯定命题的结论 规律方法小结 1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都
10、是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的2类比思想；采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习3用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况典例剖析 触类旁通基础知识应用题例1 如图110所示，在ABC中，ABAC，ADAC，AEAB求证BDCE证法1：ABAC，ADAC，AEAB(已知)， ADAE 在ABD和ACE中， ABDACE(SAS)， BDCE(全等三角形的对应边相等)证法2：ABAC(已知)， ABCACB(等边对等角) ADAC，AEAB， CDAC，BEAB， CDBE(等量代换) 在DBC和ECB中， DBCECB(SAS)， B
11、DCE(全等三角形的对应边相等)【解题策略】认真观察BD边和CE边所在的三角形，寻找三角形全等的条件 例2 如图111所示，P，Q是ABC的边BC上两点，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度数分析 由等边对等角及三角形内角和定理，可得出BAC的度数解：APPQQA(已知)，APQAQPPAQ60(等边三角形三个角都等于60)APBP(已知)，PBAPAB(等边对等角)又APQPAB+PBA(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，PBAPAB30同理，QAC30BACPAB+PAQ+QAC30+60+30120【解题策略】如果已知线段相等，要求角的度数，往往考虑含有已知角的等腰三角形(
12、特别是等边三角形)，实现由边向角的转化 例3 如图112所示，已知点D，E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE求证BDCE 分析 本题考查等腰三角形的性质定理及其推论的应用要证明线段BDCE，可以证明ABDACE由已知ABAC，ADAE，所以只要证明BADCAE即可，这可由“等边对等角”得出ADEAED，BC来证明本题还可以运用“三线合一”的性质作辅助线(高AF)来证明证法1：ABAC，ADAE， BC，ADEAED(等边对等角)， ADEBAEDC， 即BADCAE 在ABD与ACE中， ABAC，BADCAE，ADAE， ABDACE(SAS) BDCE证法2：过A作AFBC，垂足为F，则AFDE ABAC，ADAE，AFBC，AFDE， BFCF，DFEF(等腰三角形“三线合一”) BFDFCFEF，即BDCE规律方法 作等腰三角形底边上的高(或顶角平分线、底边上的中线)，从而运用等腰三角形“三线合一”的性质进行解答，这是引辅助线的常见方法，
