复变函数及积分变换习题解答

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1、-练 习 一1求以下各复数的实部、虚部、模与幅角。. z.-1；解：=2解： . z.-2将以下复数写成三角表示式。. z.-1解：2解：. z.-3利用复数的三角表示计算以下各式。1解：2解：z3z2z1+z204.设三点适合条件：=0，是接于单位圆=1的一个正三角形的项点。证：因所以都在圆周又因=0则，所以也在圆周上，又所以以0，为顶点的三角形是正三角形，所以向量之间的角是，同理之间的角也是，于是之间的角是，同理与，与之间的角都是，所以是一个正三角形的三个顶点。5解方程6试证：当时，则。证：7设是Z的辐角，求证证： 则 当时 故 当时，同理可证。*8 .思考题：1复数为什么不能比拟大小？答

2、：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。2是否任意复数都有辐角？答：否，是模为零，辐角无定义的复数。练 习 二0iy1指出满足以下各式的点Z的轨迹是什么曲线？1解：设 则 则点Z的轨迹为：2，其中为实数常数；解：设 则：y 则：0b假设： 则轨迹为： 假设： 则 轨迹：假设： 则无意义3，其中为复数为实常数。解：由题设可知：即：假设：，则Z的轨迹为一点-，0y(1,1)(-1,-4)假设：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为假设：，无意义2用复参数方程表示曲线，连接与直线段。解： 则3描出以下不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向

3、。0y1解：由，得 又，得有界，单连域0*y-112解：令 由 即：无界，单连域. z.-y33/5*解：令 则：无界，多连域v4对于函数，描出当在区域变化时，的变化围。解：令则0u则的变化围在第2,3象限,但不包括虚轴5.试证不存在。 证：= 令 则：上述极限为不确定，因而极限不存在。*6.思考题1怎样理解复变函数？答：设就是即 因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。2设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式取的路径有无关系？答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是一样的，反过来说，假设令沿两条不同的

4、曲线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。练 习 三1用导数定义，求的导数。 解：当时，导数不存在，当时，导数为0。2以下函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？1解：当且仅当时， 满足条件，故当时可导，但在复平面不解析。2 解：令 则 因在复平面上处处满足条件，且偏导数连续，故可导且解析。3设为解析函数，试确定的值。解：由条件可知： 所以 又 所以 即 4.设在区域解析，试证明在以下条件是彼此等价的。1=常数； 2；3常数2常数；5解析；6常数。证:由于在且域解析，则可得方程成

5、立，即且12由则在成立，故2显然成立，23由是常数即常数34 常数 由条件 是常数常数45假设因在解析 即 一阶偏导连续且满足条件在解析。56 因解析，则由条件， 对在解析，为常数61 常数=常数，令分别对求偏导数得 假设 则，因而得证 假设，则，故常数，由条件为常数常数*5.思考题：1复变函数在一点可导与在解析有什么区别？答：在解析则必在可导，反之不对。这是因为在解析，不但要求在可导，而且要求在的*个邻域可导，因此，在解析比在可导的要求高得多，如在=0处可导，但在处不解析。2函数在区域D解析与在区域D可导有无区别？答：无，两者等价。3用条件判断解析时应注意些什么？ 答：是否可微。4判断复变函

6、数的可导性或解析性一般有哪些方法。 答：一是定义。二是充要条件。三是可导解析函数的和、差、积、商与复合仍可导解析函数。练 习 四1由以下条件求解析函数：1 解：由解析可知： 而则 所以 由可知2解：因由解析可知：即2设，求的值使v为调和函数，并求出解析函数。解：要使为调和函数，有：，即：时，为调和函数，要使解析，则即：3如果为解析函数，试证是的共轭调和函数。证：因解析，有：所以，均为调和函数， 且亦为调和函数故是v的共轭调和函数4如果是一解函数，试证：也是解析函数。证：因解析，则 且均可微，从而也可微。而 可知：即满足条件 也是解析函数。5试解方程：1解：2解：由题设可知：6求以下各式的值：.

7、 z.-1解：2解：. z.-3解：*7.思考题1为什么复变指数函数是周期函数，而实变指数函数没有周期？答：由于实数是复数的特例，因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时，要使定义的各种复变初等函数当取实数时与相应的实变初等函数有一样的值并保持*些性质不变，但不能保持所有的性质不变。复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数，一般没有。而复变指数函数的周期性，仅当周期是复数时才显现出来。所谓实变指数函数没有周期，是指其没有实的周期。2实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同？答：两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的，而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和

8、等公式也有一样的形式。最大的区别是，实变三角函数中，正弦函数与余弦函数都是有界函数，但在复变三角函数中，与不再成立。因为当时，。故3怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同？并理解复变对数函数的运算性质。答：因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数，的主值即，是单值函数，当，而时，就与高等数学中的值一致了。在复变对数函数的运算性质中，注意到等式要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的，但在复变指数函数中，例如，而 ，应理解为：任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值，左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是

9、理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是一样的即不能只考虑*一单值支。后一式也同样理解，但对等式和它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对，取时，设，得而从，得两者的实部是一样的，但虚部的可取值不完全一样。4调和函数与解析函数有什么关系？答：如果是区域的解析函数，则它的实部和虚部的二阶偏导数必连续，从而满足拉普拉斯方程，所以是调和函数。由于解析函数的导函数仍是解析函数，所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是的相应阶导数的实部和虚部，所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出：、的任意阶偏导数仍是调和函数。5假设是的共轭调和函数，可以说是的共轭调和函数吗？答：不行，两者的地位不能颠倒。因为

10、，假设是的共轭调和函数，则应有而是的共轭调和函数，要求两者一般不能同时成立，所能推知的是是的共轭调和函数。. z.-练 习 五1计算积分，积分路径：自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i。0(1,i)解： 2计算积分的值，其中C为12解：令 则当时，为当时，为C1DC23求积分的值，其中C为由正向圆周与负向圆周所组成。y21解：4计算，其中C为圆周解：5计算以下积分值：1解：2解：6当积分路径是自沿虚轴到i，利用积分性质证明：证：*7.思考题1在积分的定义中为什么要强调积分“沿曲线由到的积分？它与“沿曲线由到的积分有什么区别？答：在定积分中已有，即积分是与区间的方向有关的，这里在上的积分也与

11、的方向有关。这从积分和式中的因子可直接看出，假设改变的方向，即是沿曲线由到积分，则积分与原积分反号： 其中表示的反向曲线。2复函数的积分与实一元函数定积分是否一致？答：假设是实轴上的区间，由定义知即为一个实函数的积分，如果是实值的，则为一元实函数的定积分，因而这样定义复变函数积分是合理的，而且可以把高等数学中的一元实函数的定积分当作复积分的特例对待。应当注意的是，一般不能把起点为，终点为的函数的积分记作，因为这是一个线积分，要受积分路线的限制，必须记作3应用柯西古萨定理应注意些什么？答：必须注意定理的条件“单连域，被积函数虽然在处处解析，但只要不是单连的，定理的结论就不成立。例如在圆环域：解析

12、，为域以原点为中心的正向圆周，但，就是因为不满足“单连域这个条件。还要注意定理不能反过来用，即不能因为有，而说在处处解析，例如,但在并不处处解析。练 习 六1计算以下积分1解：为奇点：2解：3解：=04，其中为负向。解：或 2假设是区域的非常数解析函数，且在无零点，则不能在取到它的最小模。证：设， 因为非常数解析函数，且则为非常数解析函数 所以在不能取得最大模即不能在取得最小模3.设在上解析，且在上有试证。证：因 在上 所以 上4设与在区域处处解析，为的任何一条简单闭曲线，它的部全含于，如果=在上所有点处成立，试证在所有的点处=也成立。证：设，因均在解析，所以在解析。在上，有： 所以 由的任意性可知：在*5思考题1复合闭路定理在积分计算中有什么用处？要注意什么问题？ 答：由复合闭路定理，可以把沿区域外边界限的回路积分转化为沿区域边界限的积分，从而便于计算。特别地，如果积分回路的域中含有被积函数的有限个奇点，我们就可以挖去包含这些点的足够小的圆域包括边界，函数在剩下的复连域解析，由复合闭路定理，就可以将大回路的积分换成分别沿这些小圆周的回路积分。利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法。使用复合闭路定理时，要注意曲线的方向，边界曲线由所围，即，这时取逆时针方向，而取顺时针方向，而公式中都取逆时针方向。