《专题4.4 专题突破 高考中的圆锥曲线问题全国高考数学考前复习大串讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题4.4 专题突破 高考中的圆锥曲线问题全国高考数学考前复习大串讲（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题型一求圆锥曲线的标准方程例1(2015天津变式)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_.【答案】x21【思维升华】求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.【跟踪训练1】(2014课标全国)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为， F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.【解析】(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2
2、a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而PQ|x1x2|.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015湖南变式)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_.A. B. C. D.(2)已知双曲线C：1 (a0，b0)，P为x轴上一动点，经过点P的直线y2xm (m0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为_.【答案】(1)(2)【解析】(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216
3、a2，9c29a216a2，25a29c2，e.(2)由双曲线的方程可知：渐近线方程为yx.经过P的直线y2xm (m0)与双曲线C有且只有一个交点，此直线与渐近线yx平行，2.e .【思维升华】圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.【跟踪训练2】(2014北京)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论.【解析】故d
4、 .此时直线AB与圆x2y22相切.综上，直线AB与圆x2y22相切. 题型三最值问题例3设椭圆M：1 (ab0)的离心率为，长轴长为6，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点.(1)求椭圆M的方程；(2)求证：AB；(3)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求ABCD的最小值. (3)解过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，同理可得CD，所以ABCD.因为sin 20,1，所以当且仅当sin 21时，ABCD有最小值是8.【思维升华】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式
5、法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.【跟踪训练3】(2015课标全国)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6).当APF周长最小时，该三角形的面积为_.【答案】12【解析】设左焦点为F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF的周长为AFAPPFAFAP2PF1，APF周长最小即为APPF1最小，当A、P、F1三点共线时最小，过AF1的直线方程为1.与x21联立，解得P点坐标为(2,2)，此时SSAF1FSF1PF12.题型四定值、定点问题例4(2015课标全国 )已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，
6、直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.【解析】【思维升华】求定点及定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【跟踪训练4】椭圆C：1(ab0)的离心率e ，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交B
7、P于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值.【解析】题型五探索性问题例5(2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】 (3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x23xy20，其中x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中x3，记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中0时，【思
8、维升华】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【跟踪训练5】 (2014湖南)如图，O为坐标原点，双曲线C1：1(a10，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P(，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有
9、一个公共点，且|？证明你的结论. 【解析】(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22,2a12.从而a11，c21.因为点P(，1)在双曲线x21上，所以()21.故b3.由椭圆的定义知2a2 2.于是a2，bac2.故C1，C2的方程分别为x21，1.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得2k2m23，因此x1x2y1y20，于是222222，即|2|2，故|.综合可知，不存在符合题设条件的直线. 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
