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1、高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式素材3新人教A版选修4-5二 用数学归纳法证明不等式知识梳理1.本节例题中的有关结论（1）n2-1,x0,n为大于1的自然数，那么有_；当是实数，并且满足1或者0时，有_；当是实数并且01时，有_.（4）如果n(n为正整数)个正数a1,a2,an的乘积a1a2an=1，那么它们的和a1+a2+an_.2.用数学归纳法证明不等式 在数学归纳法证明不等式时，我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是_.知识导学 本节内容主要是认知如何用数学归纳法证明正整数n的不等式（其中n取无限多个值）.其中例1提供出了一种全新的数学思想方法：观
2、察、归纳、猜想、证明，这是在数学归纳法中经常应用到的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的.猜想归纳能培养探索问题的能力，因此，应重视对本节内容的学习. 前面已学习过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等.而本节又增了数学归纳法证不等式，而且主要解决的是n是无限的问题，因而难度更大一些，但仔细研究数学归纳法的关键，即由n=k到n=k+1的过渡，也是学习好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题了.疑难突破 1.观察、归纳、猜想、证明的方法 这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的
3、成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了. 在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论.例1中若只观察前3项：a1=1,b1=2a1b3，就此归纳出n22n(nN+,n3)就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论. 2.从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧 在用数
4、学归纳法证明不等式问题中，从“n=k”到“n=k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n=k”到“n=k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构.典题精讲【例1】 (经典回放)已知函数(x)=+1,f(x)=(a+b)x-ax-bx,其中a,bN+,a1,b1,a
5、b,且ab=4,(1)求函数(x)的反函数g(x);(2)对任意nN+，试指出f(n)与g(2n)的大小关系，并证明你的结论.思路分析：欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式，以利于特殊探路从n=1，2，3，中寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明.解：(1)由y=+1,得=y-1(y1),有x+1=(y-1)2,即x=y2-2y,故g(x)=x2-2x(x1).(2)f(n)=(a+b)n-an-bn，g(2n)=4n-2n+1,当n=1时f(1)=0,g(2)=0，有f(1)=g(2).当n=2时，f(2)=(a+b)2-a2-b2=2ab=8,g(
6、22)=42-23=8,f(2)=g(22).当n=3时，f(3)=(a+b)3-a3-b3=3a2b+3ab2=3ab(a+b)3ab=48.g(23)=43-24=48,有f(3)g(23).当n=4时,f(4)=(a+b)4-a4-b4=4a3b+4ab3+6a2b2=4ab(a2+b2)+6a2b24ab2ab+6a2b2=14a2b2=224.g(24)=44-25=224,有f(4)g(24),由此推测当1n2时，f(n)=g(2n),当n3时，f(n)g(2n).下面用数学归纳法证明.(1)当n=3时，由上述推测成立；（2）假设n=k时，推测成立.即f(k)g(2k)(k3),即
7、（a+b）k-ak-bk4k-2k+1,那么f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-aak-bbk=(a+b)(a+b)k-ak-bk+akb+abk.又依题设a+b2ab=4.akb+abk=2(ab)=2k+2,有f(k+1)4(a+b)k-ak-bk+2k+24(4k-2k+1)+2k+2=4k+1-2k+2=g(2k+1),即n=k+1时，推测也成立. 由（1）（2）知n3时，f(n)g(2n)都成立. 绿色通道：为保证猜想的准确性，当设n=1,2时，得出f(n)=g(2n)，不要急于去证明，应再试验一下n=3,4时，以免出现错误.【变式训练】 已知
8、等差数列an公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-bn.(1)求数列an,bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.思路分析：“试分析”在告诉我们，与Sn+1的大小可能随n的变化而变化，因此对n的取值验证要多取几个.解：(1)由已知得，又an的公差大于0，a5a2.a2=3,a5=9.d=2,a1=1.Tn=1-b1,b1=.当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得bn=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，bn=()n-1=.an=
9、2n-1,bn=. (2)Sn=n=n2,Sn+1=(n+1)2,=,以下比较与Sn+1的大小:当n=1时，,S2=4,S2,当n=2时,S3=9,S3,当n=3时,S4=16,S5.猜想：n4时，Sn+1.下面用数学归纳法证明：（1）当n=4时，已证.(2)假设当n=k(kN+,k4)时,Sk+1,即(k+1)2,那么，n=k+1时,=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S（k+1）+1,n=k+1时，Sn+1也成立.由（1）(2)可知nN+,n4时，Sn+1都成立.综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1.【例2】 (2006江西高考，2
10、2) 已知数列an满足：a1=,且an=(n2,nN+).(1)求数列an的通项公式；（2）求证：对一切正整数n，不等式a1a2an2n！恒成立.思路分析：由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；第（2）问的证明，可以等价变形，视为证明新的不等式.解：（1）将条件变为：1-,因此，数列1-为一个等比数列,其首项为1-=,公比为，从而1-n,据此得an=(n1).(2)证明：据得,a1a2an=为证a1a2an.显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个nN+,(1-)(1-)(1-)1-(+).用数学归纳法证明式；()n=1时，显然式成立，()假设n=k时，式成立.即（1-）（1-）（1-
11、）1-(+),则当n=k+1时，(1-)(1-)(1-)(1-)1-(+)(1-)=1-(+)-+(+)1-(+).即当n=k+1时,式也成立.故对一切nN+,式都成立.利用,得（1-）(1-)(1-)1-(+)=1-=1-1-()n=+()n. 绿色通道：本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明”，“只需证明”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的.【变式训练】 已知数列an是正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5,a4S2=28.
12、(1)求数列an的通项公式；（2）求证：不等式(1+)(1+)(1+)对一切nN+均成立.思路分析：第（2）问中的不等式左侧，每个括号的规律是一致的，因此显得“多余”，所以可尝试变形，即把不等式两边同乘以，然后再证明.(1)解：设数列an的公差为d，由已知，得(10-3d)(5+d)=28,3d2+5d-22=0,解之得d=2或d=.数列an各项均为正，d=2.a1=1,an=2n-1.(2)证明：nN+,只需证明(1+)(1+)(1+)成立.当n=1时，左边=2，右边=2，不等式成立.假设当n=k时，不等式成立，即（1+）(1+)(1+).那么当n=k+1时，(1+)(1+)(1+)(1+)
13、(1+)=以下只需证明.即只需证明2k+2.(2k+2)2-()2=10,(1+)(1+)(1+).综上知，不等式对于nN+都成立.【例3】 （经典回放）设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,nN+,x(-1,+),试比较Pn与Qn的大小，并加以证明.思路分析：这类问题，一般都是将Pn、Qn退至具体的Pn、Qn开始观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性.P1=1+x=Q1,P2=1+2x+x2=Q2,P3=1+3x+3x2+x3,Q3=1+3x+3x2,P3-Q3=x3,由此推测,Pn与Qn的大小要由x的符号来决定.解：(1)当n=1,2时，Pn=Qn.(2)当n3时，（以下再对x进行分类）.若x(0,+)，显然有PnQn;若x=0，则Pn=Qn;若x(-1,0),则P3-Q3=x30,所以P3Q3;P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以P4Q4;假设PkQk(k3),则Pk+1=(1+x)Pk(1+x)Qk=Qk+xQk(运用归纳假设)=1+x+kx2+=1+(k+1)x+x2+x3=Qk+1+x3Qk+1，即当n=k+1时，不等式成立.所以当n3,且x(-1,0)时，PnQn. 绿色通道：本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能
