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1、3) log a a 1 ; 4)对数恒等式：a9aNN。基本初等函数#一.【要点精讲】1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的n次方等于a（n 1,且nN ），则这个数称a的n次方根。即若xn a，则x称a的n次方根n 1且n N ）,1）当n为奇数时，a的n次方根记作n a ；2） 当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作n a(a 0)3）当n为偶数时，n a | a |a (a 0)a(a 0) 性质：1) (：a)n a ; 2)当 n 为奇数时，n an a ;（2）.幕的有关概念规定:n1) aa(n n; 2)a01( a0）；3)
2、a pP(Pam4) ann am(a0,m、n1)性质:1) ar-r s /a a (a0,r、sQ);2) (ar)s ars(a 0,r、sQ);3) (a b)r ar br(a 0,b0,rQ )。（注）上述性质对 r、s R均适用。（3）.对数的概念定义：如果a （a 0,且a 1）的b次幕等于N,就是ab N，那么数b称以a为底N的对数，记作log a Nb,其中a称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，log 10 N记作lg N ;2）以无理数e（e 2.71828 ）为底的对数称自然对数，log e N，记作ln N ；基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对
3、数）;2） loga1 0 ;运算性质：如果 a 0,a0,M0,N0,则1) log a (MN ) log a M log a N ；2) 也罟 gM logaN ；3) log a M n n log a M (n R)换底公式：log a N log m N (a 0, a 0, m 0, m 1, N 0), logm a1) log a b log ba 1 ； 2) logambn-loga b。m2 指数函数与对数函数(1) 指数函数：定义：函数y ax(a 0,且a 1)称指数函数，1）函数的定义域为 R； 2）函数的值域为（0,）；3）当 0 a函数图像:1时函数为减函数，
4、当 a 1时函数为增函数。0 a I1） 指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当0 a 1时，图象向左无限接近 x轴，当a 1时，图 象向右无限接近x轴）；3） 对于相同的a（a 0,且a 1），函数y ax与y a x的图象关于y轴对称函数值的变化特征：0 a 1a 1x 0时0 y 1x 0时y 1，x 0时y1，x0时y 1，x 0时y 1x 0时0 y 1（2）对数函数：定义：函数 y logax（a 0,且a 1）称对数函数,1）函数的定义域为（0,） ； 2）函数的值域为 R；3） 当0 a 1时函数为减函数，当a 1时函数为增函
5、数；4）对数函数y log a x与指数函数y ax （a 0,且 a 1）互为反函数函数图像：0? 1I1yOof i1） 对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当0 a 1时，图象向上无限接近 y轴；当a 1时，图 象向下无限接近y轴）；4）对于相同的a（a 0,且a 1），函数y loga x与y log 1 x的图象关于x轴对称。a函数值的变化特征：0 a 1a 1x 1时y 0，x 1时y 0，x 1时y0，x 1时y 0，0 x 1时y 0x 0时0 y 1（3）幕函数1）掌握5个幕函数的图像特点2） a0时，幕函数在第一象限内恒为
6、增函数，a0时过（0, 0）4）幕函数一定不经过第四象限#四.【典例解析】题型1 :指数运算2例 1. (1)计算：(33) 3(5-)0.5892(0.008)空1 1(0.02) 2(0.32)10.0625025 ；41(2)化简：严8a% 24b3 23 ab a3丸)a解：( 1)原式=(A)227149 一(49)2910008一 504一210 4 3 2515“24 2101762)(2)原式=(a3)1a3(a3)1(2b3)312b1a31 1(2b3)(2&)22 1a于11 1(a2 a3)5(a1 1 1a3(a3 2b3)5a6-1a6ai1a3 2b3点评：根式的
7、化简求值问题就是将根式化成分数指数幕的形式，然后利用分数指数幕的运 算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幕的形式保留；一般的进行指数幕运算时， 化负指数为正指数，化根式为分数指数幕，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。a2例 2. (1)1已知x2 x2x32-的值3解：1x21- (x212)29,二(x1)249,二 x247 ,3又x2312 (x21x 2) (x1)(7 1) 18 ,47 218 322xx 233x2x 2 3点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2:对数运算(2).(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幕函数y
8、f(x)的图象经过点 (2,1)，则满足f(x) = 27的x的值是 .81答案1例3 计算log 9 2) (log 4 3 log 8 3)；2(1) (lg 2) lg2 lg 50 lg 25 ; (2) (log3 2)Ig5 lg8000 (lg 2 3 )211lg 600 -lg 0.036-lg0.122分母=(lg 62)l 361g .1000 10Ig6 2 lg6100解：(1)原式 (Ig2)2(1 Ig5)lg 2 Ig52 (lg 2 Ig5 1)lg 2 2lg5(1 1)lg2 2lg5 2(lg2 Ig5) 2 (2)原式(Ig2 Ig2 lg3 Ig3)
9、(Ig2 Ig2 ) ( Ig3Ig3 )(Ig3 Ig9)(lg4 Ig8)(Ig3 2lg3 ) (2lg 2 3lg 2)3lg 2 5lg 352lg 3 6lg 24 ；(3)分子:= Ig5(3 3lg2) 3(lg 2)2 3lg5 3lg 2(lg 5 lg 2)3 ；原式=4点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数 式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变 换的各种技巧例4设a、b、c为正数，且满足a2b2c2(1)求证:b ea elog2(1a ) log2(1 b )1 ；be2(2)若 l
10、og 4(1)1 , log8(a b e) ，求 a、b、e 的值。a3abc abcabcabc、证明：(1 左边 log2log2log2()abab(a b)2 c2a2 2ab b2 c22ab c2 c2log2log2log2log2 2 1 ；ababab解：(2)由log 4(1b c)1得1b c 4 ,aa 3a bc 0由 logs(ab c)得ab c28343由得b a 2由得 c 3a b，代入 a2 b2 c2得 2a(4a 3b) 0 ,/ a 0, 4a 3b 0由、解得a 6, b 8，从而c 10。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则
11、为主，将代数式化简到最 见形式再来处理即可。题型3:指数、对数方程例5.(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)x已知定义域为 R的函数f(x)2 b2 a(1)(2)求a,b的值;若对任意的tR，不等式 f (t2 2t)f (2t2(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)从而有f (x)2-.又由 f(1) f (a2x1k) 0恒成立，求k的取值范围.0,即丄亠2 a121 a0,解得b 124 a12x 1是可函数，从而不等式f (2t22t21)知2x 1 (2)解法一：由(1)知f (x) 厂厂2x 1 2 由上式易知f(X)在R上为减函数，又因f(X)f(t22 22t
12、) f (2t k) 0 等价于 f(t2因f (x)是R上的减函数，由上式推得 t2t)2tk)k.2f ( 2t k).2即对一切tR有3t2tk 0,从而12k0,解得k解法二：由(1)知f(x)2x 1尹2t2 2t又由题设条件得2-2疋 2t 122 2即(2丢 k 12)( 2t 2t 1)整理得2苏2t k 1，因底数22対k 1?2t2 k 122 2(2t 2t 1 2)( 22t k21，故 3t2 2t k1) 01例6. (2008广东 理7)设a R，若函数yax e3x , xR有大于零的极值点，则(B )A.a3B.a3厂1C.aD. a133【解析】f(x)3ax ae ,若函数在x R上有大于零的极值点,即 f (x)3 aeax 0有正根。当有f(x)3ax ae0成立时1,显然有a 0，此时x 3ln()，由x 0我们马上就能得到参数a的范围为a 3上式对一切t R均成立，从而判别式4 12k 0,解得 k-.3点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数 因式的普
