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1、第三章流体动力学基础流体的运动特性可用流速、加速度等物理量来表征，这些物理量通称为流体的运动要素。流体动力学的 基本任务就是研究流体的运动要素随时间和空间的变化规律，并建立它们之间的关系式。流体运动与其它物质运动一样，都要遵循物质运动的普遍规律，如质量守恒定律，能量守恒定律、动量 定理等。将这些普遍规律应用于流体运动这类物理现象，即可得到描述流体运动规律的三个基本方程：连续 性方程、能量方程（伯努利方程）和动量方程，并举例说明它们在工程中的应用。3.1研究流体运动的两种方法研究流体运动的方法有拉格朗日法和欧拉法两种。3.1.1拉格朗日法拉格朗日法以流体质点为研究对象， 追踪观测某一流体质点的运
2、动轨迹， 并探讨其运动要素随时间变化 的规律。将所有流体质点的运动汇总起来，即可得到整个流体运动的规律。例如在t时刻，某一流体质点的位置可表示为x =x a，b，c，ty =y（a，b，c， t 卜（3-1）z =z（a，b，c，t L式中：a，b，c为初始时刻t0时该流体质点的坐标。拉格朗日法通常用t= to时刻流体质点的空间坐标（a，b， c）来标识和区分不同的流体质点。显然，不同的流体质点有不同的（a，b，c）值，故将（a， b，c，t）称为拉格朗日变量。式（3-1）对时间t求偏导数，即可得任意流体质点的速度山 一 m - Ux （a， b， c， t）a比= = Uy（a, b，c,
3、t（3-2）ctCZyUzt Uz a，b，c，t加速度Ux；：2xZt.：tax a,ay：UyT：2y.：t二ay a,az:Uz；：t?z.:t二 az a,b, c, t)b, c, t”b, c, t )(3-3)拉格朗日法与理论力学中研究质点系运动的方法相同，其物理概念明确，但数学处理复杂。所以，在流 体力学中，一般不采用拉格朗日法，而采用较为简便的欧拉法。3.1.2欧拉法与拉格朗日法不同，欧拉法着眼于流场中的固定空间或空间上的固定点，研究空间每一点上流体的运 动要素随时间的变化规律。被运动流体连续充满的空间称为流场。需要指岀的是，所谓空间每一点上流体的 运动要素是指占据这些位置的
4、各个流体质点的运动要素。例如，空间本身不可能具有速度，欧拉法的速度指 的是占据空间某个点的流体质点的速度。在流场中任取固定空间，同一时刻，该空间各点流体的速度有可能不同，即速度u是空间坐标（x, y,z）的函数；而对某一固定的空间点，不同时刻被不同的流体质点占据，速度也有可能不同，即速度u又是时间t的函数。综合起来，速度是空间坐标和时间的函数，即u = u x, y, z, tUx=Ux(x,y,z,t)(3-4)(3-5)(3-6)Uy=Uy(x,y,z,t)同理Uz=Uz(x,y,z,tp = p x, y, z, tP(x, y, z, t)式中x, y, z, t称为欧拉变量。同样，欧
5、拉法中某空间点的加速度是指某时刻占据该空间点的流体质点的加速度。而求质点的加速度就要追踪观察该质点沿程速度变化，此时速度U = u x, y, z, t中的坐标x, y, z就不能视为常数，而 是时间t的函数，即X =x t , y =y t , z =z t则速度可表示成u二u X t , y t , z t , 11因此，欧拉法中质点的加速度应按复合函数求导法则导岀ducucu dxcudycudza =(3-7)dtctex dtdydtczdt.u；u；u；uUxUyUz-.t:x:y:z其分量形式azdUx-dt -；:tdUyUy一 dtdUz.：UzayaxUx.:u.：Uzdt
6、.:t；:u7；Uy由式（3-7）可见，欧拉法中质点加速度由两部分组成：第一部分UzUz；:u.Uz.z(3-8)表示空间某一固定点上流体质点:t#:u:uUxUy :x:y图3-1管路出流的速度对时间的变化率，称为时变加速度或当地加速度，它是由流场的非恒定性引起的；第二部分 Uz丄表示由于流体质点空间位置变化而引起的速度变化率，称为位变加速度或迁移加 :z速度，它是由流场的不均匀性引起的。例如，图3-1所示的管路装置，点a、b 分别位于等径管和渐缩管的轴心线上。若水 箱有来水补充，水位 H保持不变，则点a, b处质点的速度均不随时间变化，时变加速 度、Ux =0，点a处质点的速度随流动保持不
7、变，位变加速度Ux匹=0，而点b:x处质点的速度随流动将增大，位变加速度Ux x 0，故点a处质点的加速度ax = 0，点b处质点的加速度 ex.:t有a点的位变加速度Ux =， b点的位变加速度Ux宀，故点a处质点的加速度ax = x ；:x；:x;:t点b处质点的加速度CUx丄xaxUx -盘dx若水箱无来水补充，水位 H逐渐下降，则点a, b处质点的速度均随时间减小，时变加速度dz = uzdt ”可得迹线微分方程(3-10)鱼二鱼二空二dtUx Uy Uz式中时间t是自变量，x, y, z是t的因变量。2.流线流线是指某一时刻流场中的一条空间曲线，曲线上所有流体质点的速度矢量都与这条曲
8、线相切，如图3-2所示。在流场中可绘出一系列同一瞬时的流线，称为流线簇，画岀的流线簇图称为流谱。设流线上某点M （x，y，z）处的速度为u，其在x，y，坐标轴的分速度分别为Ux、Uy、Uz，ds为流线在M点的微元线u与ds共线，则U图3-2流线dxdydz=0UxUyUz段矢量，ds= dxi + dyj+ dzk。根据流线定义,#展开上式，可得流线微分方程dxUxdyuydzUz(3-11)#式中Ux，Uy，Uz是空间坐标和时间t的函数。因流线是对某一时刻而言，所以微分方程中的时间t是参变量,在积分求流线方程时应作为常数。根据流线定义，可得岀流线的特性：（1）在一般情况下不能相交，否则位于交
9、点的流体质点，在同一时刻就有与两条流线相切的两个速度 矢量，这是不可能的。同样道理，流线不能是折线，而是光滑的曲线或直线。流线只在一些特殊点相交，如 速度为零的点（图3-3中的A点）通常称为驻点；速度无穷大的点（图 3-4中的0点）通常称为奇点；以及 流线相切点（图3-3中的B点）。AB#3-4奇点（源、汇）图3-3驻点和相切点图（2）不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大,#流线越稀，流速越小。（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线 的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。例3-2已知二维非恒定流场
10、的速度分布为：ux =x t，uy = -y t。试求：（1）t= 0和t = 2时，过点M （- 1，- 1）的流线方程；（2） t= 0时，过点M （ 1，- 1）的迹线方程。解：（1）由式（3-11），得流线微分方程dx _ dyx t 一 -y t式中t为常数，可直接积分得简化为In x t = -1 n y -t iTnCx t y - t =C当 t= 0，x=- 1，y=- 1 时,C= 1。_则t= 0时，过点M （ 1，- 1）的流线方程为xy = 1当 t= 2，x=- 1，y=- 1 时,C=- 3。_则t = 2时，过点M （ 1，- 1）的流线方程为由此可见，对非恒定
11、流动，流线的形状随时间变化。（2）由式（3-10），得迹线微分方程dx dydt x t _y t式中x、y是t的函数。将上式化为空-x-t=O dt 业+ L.dty -t = 0解得tx = C1e_ t _1=C2e-t +t -1当 t= 0, x=- 1 , y=- 1 时，Ci= 0, C2 = 0。贝U t= 0 时，过点 M ( 1, 1)的迹线方程为X = -t - 1、y = t1消去时间t,得x y - -2由此可见，t = 0时，过点M ( 1, 1)的迹线是直线，流线却为双曲线，两者不重合。若将该题改为二维恒定流动，其速度分布为ux二x，uy - -y，则可得过点 m( 1，-1)的流线方程和迹线方程相同，说明恒定流动流线和迹线重合。3.
