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1、欢迎共阅植树问题公式单边植树(两端都植):距离+间隔长+仁棵数单边植树(只植一端):距离+间隔长二棵数单边植树(两端都不植):距离+间隔长1=棵数双边植树(两端都植):(距离+间隔长+1)X 2二棵数双边植树(只植一端):(距离+间隔长)X 2二棵数双边植树(两端都不植):(距离+间隔长-1 )X 2二棵数循环植树: 距离宁间隔数二棵数解释:1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数二段数+1二全长株距+1全长二株距x (株数1)株距二全长(株数1)在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:株数二段数二全长株距全长二株距x株数株距二全长株数在非
2、封闭线路的两端都不要植树,那么:株数二段数1二全长株距1 全长二株距x (株数+1)株距二全长(株数+1)2封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数二段数二全长株距 全长二株距x株数 株距二全长株数3、如果植树路线的两边与两端都植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1,再乘二,即:棵树二(段数+1)x 2。二、在封闭线路上植树,棵数与段数相等,即:棵数二间隔数。三、在正方形线路上植树,如果每个顶点都要植树。则棵数 二(每边的棵数-1) x边数。例1长方形场地:一个长84米,宽54米的长方形苹果园中,苹果树的株距是 2米,行 距是3米.这个苹果园共种苹果树多少棵?解: 解法一: 一行能种多少棵? 8
3、4宁2=42(棵).|这块地能种苹果树多 少行? 54- 3=18(行). 这块地共种苹果树多少棵? 42 x 18=756(棵). 如果株 距、行距的方向互换,结果相同: (84 - 3) x (54 - 2)=28 x 27=756(棵).解法二:这块地的面积是多少平方米呢?84 x 54=4536(平方米). 一棵苹果树占地多少平方米呢?2 x 3=6(平方米).这块地能种苹果树多少棵呢? 4536 - 6=756(棵).欢迎共阅当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时,可用上述两种方法中 的任意一种来解;当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时,就只能用第 二种解法来解.但有些问
4、题从表面上看,并没有出现“植树”二字,但题目实质上是反映封 闭线段或不圭寸闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。锯木头问题就是典型的不封闭线段上,两头不植树问题。所锯的段数总比锯的次数多一。上楼梯问题,就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔,那么:上楼所需总时间二(终点层一起始层)X每层所需时间。而方阵队列问题,看似与植树问题毫不相干,实质上都是植树问题例2直线场地:在一条公路的两旁植树,每隔 3米植一棵,植到头还剩3棵;每隔2.5米植一 棵,植到头还缺少37棵,求这条公路的长度。解法一:(代数解法)设一共有x棵树 【(x-3) /2-1】X3=【( x+37) /2-1】X2.5
5、 x=205公路长:【(205-3) /2-1】X3=300得:公路长度为300米解法二:(算术解法)这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑:首先,我们在两边起点处各栽下一棵树,这两棵树与路长没有关系,以后每栽下一棵树,不论栽在哪一侧,植树 的路线(不是路)就增加一个间距,为了简单起见,我们按单侧植树来考虑。当按3米的间距植树时,最后剩下3棵,也就是说植树的路线要比路长出 3个间距,3X 3=9米,当 按2.5米的间距植树时,最后还缺37棵树,也就是说植树的路线比路短了 37个间距,2.5 X 37=92.5米,两次相差9+92.5=101.5米,两次植树的间距相差是 3-2.5=0.5米,据此可
6、 以求出树的棵数:(不包括起点的2棵)101.5- 0.5=203 (个)知道了树的棵数,就可以求出植树路线的长度了:3X(203- 3) =600 (米)或2.5X( 203+37) =600 (米)因为是双侧植树,所以路长为:600-2=300 (米)综合算式为:3X (3X 3+2.5X 37) - (3-2.5) -3-2=300 (米) 或 2.5X (3X 3+2.5X 37) - (3-2.5) +37 -2=300 (米) 答:(略)例3圆形场地(难题):有一个圆形花坛,绕它走一圈是 120米。如果在花坛周围每隔6米栽 一株丁香花,再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2株月季
7、花。可栽丁香花多少株? 可栽月季花多少株?每2株紧相邻的月季花相距多少米解: 解:根据棵数=全长宁间隔可求出栽丁香花的株数:120十6=20 (株)由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花,丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等,因此,可栽月季花:2X 20=40(株) 由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的,而2株丁香花之间的距离被2株 月季花分为3等份,因此紧相邻2株月季花之间距离为: 6宁3=2 (米) 答:可栽丁香 花20株,可栽月季花40株,2株紧相邻月季花之间相距2米。例4例4在圆形水池边植树,把树植在距离岸边均为 3米的圆周上,按弧长计算,每隔2米 植一棵树,共植了 314棵。
8、水池的周长是多少米?(适于六年级程度)解:先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长,这个圆的周长是:2X 314=628 (米)这个圆的直径是:628- 3.14=200 (米)由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上,所以圆形水池的直径是:200-3X 2=194(米) 圆形水池的周长是:194X3.14=609.16(米) 综合算式:(2X 314-3.14-3X 2) X 3.14 = (200-6) X 3.14 =194X 3.14 =609.16(米)例5小明家门前有一条10米长的水沟,在沟的一侧每隔2米栽一棵树,一共可栽几棵?(两端都植树)按常规解法,答案应该是6 (10十2+1)
9、棵,同理,如果小光家门前也有一段10米长的水沟,同样可以栽6棵,也就是两家一共可以栽12棵,这并看不出有什么不 妥。但是,当小明与小光家是邻居时,我们再计算一下:两家的水沟总长是20米,20十2+1=11棵),也就是两家一共可以栽11棵树,结果比上次计算少了一棵(本人称之为 “邻欢迎共阅里冲突”),这是因为在端点处有两棵树“重合”了,这两棵树的间距为0,与题中要求间距2米不符,因此,可以看出两端植树是不妥当的。但如果两端都不植树,又会出现公共 点没有树邻近的两棵树间距4米的情况,仍与题意不符。那么一端植树又会怎样呢?这种 要求是无法实现的,因为当一方在与邻家相接的端点上植上树后, 就会使邻家地
10、段两端都 有树存在,还是不合题意。因此,要求在端点上植树(或不植树)都会出现矛盾,这样的 计算方法也不能正确的反映出各个数量间的关系。数学是一门严谨的科学,出题者固然可 以任意给定条件,但用不同的计算方法得出的结果应该是相同的, 当计算结果出现矛盾时, 应该找出问题的原因所在,不能简单的用“两树重合”来解释解释。再按照“棵树=段数”的方法计算一下:小明家可栽树:10*2=5 (棵)小光家可栽树:10*2=5 (棵)两家一共可栽树10棵。 当两家是邻居时,可栽树:(10+10) *2=10(棵)两次计算结果 相同,因此可以说这种计算方法才能正确的反映出各个数量之间的关系。为什么说常规的解法不够正
11、确呢?那是因为在常规解法中, 只考虑了植树路段为一家独有的情况, 多栽 或少栽一棵都不会出现“争议”,也就无法判定栽法是否妥当。然而当植树路段为多家共 有时就会出现一方或双方将树栽到了公共端点上的情况,从理论上讲这是不正确的。相对于“路边加一”,“楼间减一”也无道理,因为完全可以按“间距 2米”栽下5棵而不是4 棵树,至于端点处的两棵树与楼相距只有 1米的情况,与题意并不矛盾:1、要求“间距2米”可以认为每棵树需要2米的生长空间,端点的树和中间的树同样都具有 2米的空 间;2、如果把“楼”也看做“树”而使间距不足,那么则是因为“他”将树栽倒了公 共端点上而侵占了“我”的空间,“我”并没有栽错。(点击图片可放大)例6