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1、.第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分,共24分)1、 若是五阶行列式中带正号的一项,则。令,取正号。2、 若将阶行列式的每一个元素添上负号得到新行列式,则= 。即行列式的每一行都有一个(-1)的公因子,所以=。3、设, 则=。 可得4、设为5 阶方阵,则。 由矩阵的行列式运算法则可知:。5、为阶方阵,且 0 。由已知条件:,而 :。6、设三阶方阵可逆,则应满足条件。 可逆,则行列式不等于零:。二、单项选择题(每小题4分,共24分)7、设,则行列式 A 。ABCD由于 8、设阶行列式,则的必要条件是 D 。A中有两行(或列)元素对应成比例 B中有一行(或列)元素全为零 C中各列元素
2、之和为零 D以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意同阶方阵,下列说法正确的是 C 。A. B. C. D. 10、设为同阶可逆矩阵,为数,则下列命题中不正确的是 B 。A. B. C. D. 由运算法则,就有。11、设为阶方阵,且,则 C 。A B C D 因为。12、矩阵的秩为2,则= D 。 A. 2 B. 3 C.4 D.5 通过初等变换,由秩为2可得:三、计算题(每小题7分,共42分)13、计算行列式: 。 解:。14、计算行列式: 。解:先按第一行展开,再按第三行展开,有:=。15、问取何值时,齐次线性方程组有非零解。解:齐次线性方程组有非零解,则系数行列式为零: 16、设
3、矩阵,计算。解:因为,所以都可逆,有 。17、解矩阵方程,求,其中=。 解:, 。18、设,利用分块矩阵计算。 解:四、证明题(每小题5分,共10分)19、设阶方阵满足,证明矩阵可逆,并写出逆矩阵的表达式。 证明:因为, 从而。20、若矩阵,则称矩阵为反对称矩阵,证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。证明:设为阶反对称矩阵,为奇数,则 , 所以不可逆,即不是满秩矩阵。第二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分,共24分)1、 为3阶方阵,且是的伴随矩阵,则= -4 。 因为:。2、为53矩阵,秩()=3, ,则秩()= 3 。 因为可逆,相当于对作列初等变换,不改变的秩。3、均为4维列向
4、量, ,则= 40 。 。4、,且,则 = -4 。 。5、如果元非齐次线性方程组有解,则当 n 时有唯一解;当 n 时有无穷多解。 非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组的3个解是。其中,如,则方程组的通解是 。 因为,所以的基础解系含4-3=1个解向量;又 都是的解,相加也是的解,从而可得的一个解为: , 于是的通解为:。二、单项选择题(每小题4分,共24分)7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行8、阶方阵满足,其中为单位矩阵,则必有 D 。A. B. C. D. 矩阵乘法不满足变换律,而D中。
5、9、矩阵的秩为2,则= D A. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换,由秩为2可得:。10、若方阵不可逆,则的列向量中 C 。A. 必有一个向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵不可逆,则的列向量线性相关,由定义可得。11、若r维向量组线性相关,为任一r维向量,则 A 。A. 线性相关 B. 线性无关 C. 线性相关性不定 D. 中一定有零向量 由相关知识可知,个数少的向量组相关,则个数多的向量组一定相关。12、若矩阵有一个3阶子式为0,则 C 。A.秩()2 B. 秩()3 C. 秩()4 D
6、. 秩()5 由矩阵秩的性质可知:,而有一个3阶子式为0,不排除4阶子式不为0。三、计算题(每小题7分,共42分)13、计算行列式。 解:14、设,求矩阵。 解:。15、已知三阶方阵,且,计算矩阵。 解:16、求矩阵的秩,并找出一个最高阶非零子式。 解:, 最高阶非零子式是。17、写出方程组的通解。 解: 18、已知R3中的向量组 线性无关,向量组,线性相关,求k值。解: ,由 线性无关,得,因为相关,所以有非零解,故系数行列式=0,得。四、证明题(每小题5分,共10分)19、设为阶方阵,若,则秩秩。证明:因为线性方程组,当秩时,基础解系为个,由则有,即B的列均为的解,这些列的极大线性无关组的
7、向量个数即秩(,从而秩。20、如果线性相关,但其中任意3个向量都线性无关,证明必存在一组全不为零的数,使得。 证明:因为线性相关,所以存在一组“ 不全为零”的数,使得 , 如果,则,且由于 不全为零,所以线性无关,与题设矛盾,所以; 同理,可证明。第三套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分,共24分)1、 已知三阶行列式,表示它的元素的代数余子式,则与对应的三阶行列式为。 由行列式按行按列展开定理可得。2、均为阶方阵,则=。 由于: 。3、 ,则=。由于。4、向量组线性 无 关。 因为:。5、设6阶方阵的秩为5,是非齐次线性方程组的两个不相等的解,则 的通解为。 由于,所以的基础解系只含
8、一个向量:,故有上通解。6、已知为的特征向量,则。 。 二、单项选择题(每小题4分,共24分)7、,则 D 。A B C D 对A作行变换,先作,将第一行加到第三行上,再作,交换一二行。8、元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 B 。A B C D 齐次线性方程组有非零解的定理。9、已知矩阵的秩为,是齐次线性方程组的两个不同的解,为任意常数,则方程组的通解为 D 。A B C D 基础解系只含一个解向量,但必须不等于零,只有D可保证不等于零。10、矩阵与相似,则下列说法不正确的是 B 。A.秩()=秩() B. = C. D. 与有相同的特征值 相似不是相等。11、若阶方阵的两个不同的特征
9、值所对应的特征向量分别是和,则 B 。A. 和线性相关 B. 和线性无关 C. 和正交 D. 和的内积等于零 特征值,特征向量的定理保证。12、阶方阵具有个线性无关的特征向量是与对角矩阵相似的 C 条件。A.充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分,共42分)13、设与均为3阶方阵,为3阶单位矩阵,且 ;求。 解:因为AB+E=A2+B ,可逆所以。14、满足什么条件时,方程组有唯一解,无解,有无穷多解? 解:当且时,方程组有惟一解。当时方程组无解。当时方程组当时这时方程组只有零解。当时,这时方程组有无穷
10、多解。15、向量组 ,(1)计算该向量组的秩,(2)写出一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。解:, 为一个极大无关组,16、设矩阵的一个特征值为3,求。解:17、计算矩阵的特征值与特征向量。 解:,所以得:特征值,解方程组,只得一个对应特征向量为:;, 解方程组,可得特征向量为。18、当为何值时,为正定二次型? 解:解不等式:。四、证明题(每小题5分,共10分)19、设向量能由这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明:向量组线性无关。 证明:(反证法)如果线性相关,则有一组不全为0的系数使= (1),由已知设,结合(1)式得 (2)由于不完全为零,则,必与不同,这样已有两种表示,
11、与表示法惟一相矛盾,证毕。20、设是阶方阵的3个特征向量,它们的特征值不相等,记,证明不是的特征向量。 证明:假设, 又: 从而:,由于特征值各不相等,所以线性无关,所以的,矛盾。一、填空题。(每小题 5 分,共 30 分)1、在四阶行列式中,包含因子的项是_。2、设,则项的系数为 8 3、已知, ,是线性无关的4维向量, ,则是 4 维向量空间。4、已知阶方阵的个特征值分别为,则_。5、若是方阵的特征向量,那么_是方阵的特征向量。6、线性方程组的基础解系含有_个解向量。二、选择题。(每小题 5 分,共 30 分)1、设,为阶方阵,满足,则_。, ,或,。2、已知为阶方阵,且满足关系式,则_。
12、, , , 。3、为阶可逆方阵,且各列元素之和均为,则_。必有特征值,必有特征值,必有特征值,必有特征值。1、 设可由,线性表出,但不能由向量组:,线性表出,记向量组:,则_。不能由,也不能由线性表出, 不能由,但能由线性表出,能由,也能由线性表出, 能由,但不能线性表出。6、设为的非零矩阵,方程存在非零解的充分必要条件是_。的行向量组线性无关, 的行向量组线性相关,的列向量组线性无关, 的列向量组线性相关。 三、已知,求。(10分)解:-四、为何值时,线性方程组有解,并求其解。(10分)解:对增广矩阵作初等行变换如下 -易见当时,方程组有解, -保留方程组为: 原方程组通解为:-五、已知向量, (10分) 求 判断向量,是线性相关还是线性无关。解:(1)-