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1、实验二用MATLAB计算傅立叶变换(2 课时)、实验目的1、掌握用MATLAB计算DTFT及系统频率响应的方法。2、掌握用MATLAB计算DFT和IDFT的方法。3、掌握用DFT计算圆周卷积和线性卷积的方法。二、实验设备计算机一台，装有MATLAB软件。三、实验原理和基本操作1用 MATLAB 计算 DTFT对于序列x (n),其离散时间傅立叶变换(DTFT)定义为：X (jw) = x(n)e-(1)n=-g序列的傅立叶变换(DTFT)在频域是连续的，并且以w =2n为周期。因此只需要知道X(ejw) 的一个周期，即w =0，2n ，或-n，n 。就可以分析序列的频谱。用MATLAB计算DT
2、FT，必须在-n Ww Wn范围内，把w用很密的、长度很长的向量来近 似，该向量中各个值可用下式表示：2兀w=k*dw=k*(2)K2兀其中：dw =称为频率分辨率。它表示把数字频率的范围2n均分成K份后，每一份K的大小， k 是表示频率序数的整数向量，简称为频序向量，它的取值可以有几种方法：通常在 DTFT中，频率取-n Wwn的范围，当K为偶数时，取K KKk = - ，一 +,一1,0,1，片 一1222如果K为奇数，则取k =- + 0.5, ,-1,0,1,-0.522可以为奇偶两种情况综合出一个共同的确定频序向量k的公式；k=上式中表示向下取整。在MATLAB中的向下取整函数为fl
3、oor, floor (x)的作用是把x向下(向-方向)取整， 所以与(3)式等价的MATLAB语句为k二 floor( K- + 0.5):吟-0.5)(4)给定了输入序列(包括序列X及其位置向量n),又设定了频率分辨率d及频序向量k,则 DTFT的计算式(1)可以用一个向量与矩阵相乘的运算来实现。e -e-丿竹e-丿咲竹X 卸，X 巴),X 叫)二x(n1),x(nN)e -jjn2 e -j2n2 e -jKn25)e -叽e -叽e -丿叽如果频率向量表为 = v,， =k*d，而序列的位置向量为nx=n1： nN，则12K(5)式中的矩阵的指数部分可以写成j*nT*，用MATLAB语
4、句表达时，把代以w,转置符号nT换成MATLAB中的相应符号n，则求DTFT的程序可以写成：X 二 x * exp( - j * dw * n*k)例1求有限序列x=2，-1，1，1的 DTFT，其位置向量为nx=0： 3。假如取64个频点，画出它在-n n范围内的幅频和相频特性。程序如下:% 设定频序向量%用(1)式计算DTFT% 画幅频曲线x=2,-1,1,1;nx=0:3;K=64;dw=2*pi/K;k=floor(-K/2+0.5):(K/2-0.5);%w=linspace(-8,8,1000);X=x*exp(-j*dw*nx*k)subplot(2,1,1); plot(k*d
5、w,abs(X),subplot(2,1,2) ;plot(k*dw,angle(X), % 画相频曲线2.用MATLA B计算系统频率响应H(ejw)MATLA B中用于求系统频率响应的函数是freqz，其功能是：由给定的系统函数H(Z)的分 子和分母的系数向量绘制系统的幅度和相位响应。调用格式：H，w=freqz(b,a,N),或 N 缺省H, w=freqz(b,a),此时 N 取默认值 512。H是系统的频率特性，它是一个N元的复数向量。w是数字频率向量，它把0到n均分为N份，分辨率为 n /N, w =0： N-1n /N。b和a分别为分子分母多项式的负幕系数向量，即多项式的首项是常
6、数项，以后按e-j的升幂排列，由此形成的多项式的系数向量。N 为所选的频率点数，它决定了频率分辨率的密度。这样求出的频率特性是在OW n之间的特性，如果要让MATLAB计算全频率OW L,则程序会自动给x后面补零，使其长度为N;如果NL,则程序会自动将x截断，取 前N个数据。同样，计算离散傅立叶反变换时，调用函数ifft方法为ifft (X)或ifft(X，N)，其 输入变元的意义与fft函数相同。例3：长度为4的有限序列：x(0)=2,x(1)= -1,x=1,x(3)=1,求它的DFT。解： x=2,-1,1,1;X=fft(x)运行结果：4用 MATLAB 计算圆周卷积圆周卷积定理：设有
7、限长序列x (n)和x (n)的长度分别为N和N , N=maxN ,N 。x (n)1 2 1 2 1 2 1和x2(n)的N点DFT分别为X1(k)=DFTx1(n),X2(k)=DFTx2 (n).若 X (k) = X (k) * X (k)12则x/n)与x2 (n)的N点圆周卷积是x(n)=IDFTX(k)=龙x (m)x (n - m) )R (n)1 2 N Nm=0可以利用此定理和函数 fft、ifft 计算圆周卷积例 4：设 X(n)=l, 2，3, x2(n)=5, 4，-3，-2，计算 4 点圆周卷积 y(n)= x/n) x2 (n) 解：写出MATLAB程序如下：x
8、1=1 2 3,x2=5 4 -3 -2X1 =fft(x1 ,4); X2 =fft(x2 ,4);Y= X1 .* X2 ;y=ifft(Y,4)运行结果：5利用圆周卷积计算线性卷积设x/n)为叫点序列，x2 (n)为N?点序列，x/n)和x2 (n)的线性卷积为y(n)=m=0x (m) x (n - m)l2灿为(N1+ N2-1)点序列。如果Nn NF竹-1，则N点圆周卷积能代表线性卷积。例5：设X (n)与x 2 (n)是两个四点序列:x1(n)=1， 2， 2， 1， x2(n)=1， -1， 1， -1(1) 求它们的线性卷积 y(n); 计算圆周卷积，使得它与y(n)相等。解
9、：线性卷积可以调用conv函数来求。圆周卷积可按例4的方法求。程序如下: x1=1,2,2,1;x2 =1,-1,1,-1;y=conv(x1 , x2 )X1 =fft(x1 ,7); X2 =fft(x2 ,7); Y= X1 .* X2 ;x3 =ifft(Y,7) 运行结果：6分段卷积当x(n)长度远远大于h(n)时，要采用分段卷积的方法，以减少线性卷积的运算量。分段卷积 的方法有重叠保留法和重叠相加法两种。(1) 重叠保留法设h(n)的长度为M, x(n)的长度为Lx,分段后每一段的有效数据的长度为L=N-M+1。编写出 实现重叠保留法的函数ovrlpsav如下：function y
10、=ovrlpsav(x,h,N)Lx=length(x);M=length(h);M1=M-1;L=N-M1;H=fft(h,N);x=zeros(1,M1),x,zeros(1,N-1);K=floor(Lx+M1-1)/(L)+1;Y=zeros(K+1,N);for k=0:K-1xk=x(k*L+1:k*L+N);Xk=fft(xk);Y(k+1,:)=real(ifft(Xk.*H);endY=Y(:,M:N);y=(Y(:);(2) 重叠相加法MATLAB信号处理工具箱中的函数fftfilt.m可实现重叠相加法。它有两种调用格式：1 )y=fftfilt(h,x)2)y=fftfi
11、lt(h,x,r)其中 h 代表系统的脉冲响应 h(n),x 是输入序列。在第一种格式中，程序自动把输入分成每段 512个样本。并按512点(如果h(n)的长度比512长，则按h(n)的长度)FFT进行各段的卷积运 算。在第二种调用格式中，r是用户指定的FFT长度，而输入x就按这个长度分段。例 6：设 x(n)=n+1,0n 9,h(n)=1,0,-1。分别用 ovrlpsav(按 N=6)和 fftfilt 函数求 x(n)与 h(n)的线 性卷积解：MATLAB程序为n=0:9;x=n+1;h=1,0,-1;N=6;y1=ovrlpsav(x,h,N)y2=fftfilt(h,x)运行结果：四、实验内容1、上机运行上面给出的各个例子，记录程序运行结果。2、求有限长序列x(n)=l,3,5,2,l的DTFT，画出它在e= -88rad/s范围内的幅频和相频特性 曲线。3、长度为4的有限长序列：x(0)=2,x(1)=1,x=2,x(3)=8,求它的DFT。五、注意事项1、实验前复习相关理论知识。2、注意子函数调用时输入输出参数的匹配。
