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1、课题：椭圆及其标准方程（）授课教师：四川省南充市第一中学 袁 铭教材：全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）高二数学上（人民教育出版社出版）一、教材分析(一) 教学内容 椭圆及其标准方程是高二数学上（试验修订本必修）（人民教育出版社出版）第八章的第一节内容，分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路. 现在说第一课时.(二) 教材的地位和作用 本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有
2、了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线. 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一.(三) 教学目标 确定依据 根据上述教学内容的地位和作用，结合大纲，确定了以下目标： 1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导. 2. 过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 3. 情感态度与价值观目标：通过主动探
3、究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点. 以“神舟五号”飞船运动轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值. (四) 教学的重点难点的确立和解决 确定依据 教学大纲 学生情况 1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程 解决方法 为了突出重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示椭圆上的点所要满足的条件，由此得出定义，推出方程. 2. 教学难点：椭圆标准
4、方程的推导 解决方法 为了突破此难点，关键是抓住 怎样建立坐标系 并把实际问题数学化即建模和 怎样简化方程 两个环节来进行方程的推导.二、学情分析 通过前面的学习，学生已具备一定的分析与归纳能力. 初步掌握了解析几何的基本思想与方法，但是学生对坐标法解决几何问题掌握不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么的办法来补充这些知识.三、教法和学法(一) 教法：根据以上的分析及本节课的内容和学生的认知水平，采用在教师指导下的学生探究发现教学
5、法. 通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃. 同时培养了学生自主学习，动手探究的能力.(二) 学法：自主探究，合作交流 授人以鱼，不如授人以渔. 教给学生如何学习是教师的职责，因此在本节课的教学中，教会学生动手尝试、仔细观察、开动脑筋、分析讨论，最后抽象出概念，推出方程. 这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. (三) 教学手段：多媒体辅助教学. 通过动态演示，集声、文、图象于一体，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.四、教学过程及设计意图
6、(一) 创设情景，提出课题 本节课的开始由多媒体演示“神舟五号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图.问 一 2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦. 请问：“神舟五号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？ 设置依据 让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有很多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力，并体现了爱国主义思想的渗透. 此时老师可以指出，在天体运行的轨道中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等. 再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“圆锥曲线” 这个名称的来历，并让学生举出实
7、际生产、生活中有关椭圆的例子. 设置依据 使学生对圆锥曲线有初步的感性认识，同时对本章要学习的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点. 教师也可以很自然的引出课题.(二) 自主探究，形成概念问 二 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹. 椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ 设置依据 “思维从疑问开始” ，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态. 此时教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法（几何特征）. 于是让学生拿出课前
8、准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生尝试到成功的喜悦. 教师进一步启发引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”时，马上提出第三个问，让学生回答.问 三 1. 在纸板上作图说明了什么？ 2. 在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，改变两个图钉之间的距离（设为2 c），画出的椭圆有何变化？ 3. 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？ 4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？ 教师让学生再一次动手实践，相互讨论交流，然后抽学
9、生代表发表意见，同时教师运用多媒体进行配合说明，可以得出：当 2 a 2 c 时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当 2 a = 2 c 时是线段；当 2 a 0) ，则有F1（c, 0）、F2 (c ,0). 又设 M与F1 和F2 的距离的和等于常数 2 a ( a 0 ) .设置依据 因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.2. 写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：P = M | |MF1 | + |MF2 | = 2 a .到此为止，学生以为椭圆的方程
10、已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题. 教师引导学生化简，得到 (a 2 c 2 ) x 2 + a 2 y 2 =
11、 a 2 (a 2 c 2 ) . 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，5. 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略. 如有特殊情况，应给出说明. 另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程.设置依据 再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练. 问 六 如果焦点F1 、F2 在 y 轴上，并且点O 与线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？ 设
12、置依据 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习. 1. 指出在下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？哪些是椭圆的方程？（让学生思考、抢答）2. 比较椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论回答，教师板书）不同点标准方程图形焦点坐标共同点定义a、b、c的关系焦点位置的判定设置依据 使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫.(四) 初步运用，强化理解例 题 1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 a2，b2 和焦点坐标. 图3 设置依据 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受 数形结合 思想的优越性.(五) 自我评价，反馈调节 设置依据 变换练习方式，可增强新异感，调动学生的积
