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1、第五讲 探究规律教学目标（1）使学生掌握规律题的解题方法（2）使学生掌握类比、归纳等常用数学思想方法（3）强化学生的推理能力。教学重点规律题的解题方法；类比、归纳等数学思想方法教学难点规律题的解题方法教学方法建议讲练结合，讲授、讨论结合选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 4 ）道（ 5 ）道（ 8 ）道B类（ 4 ）道（ 6 ）道（ 7 ）道C类（ 2 ）道（ 2 ）道（ 3 ）道一、知识梳理 规律探索型问题是考察学生推理能力的一种题目。推理能力主要表现在：能通过背景材料，进行观察、比较、实验、归纳、类比、抽象和推理等获得数学猜想，探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，增
2、强应用数学的意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力.规律题的题型有很多，解题方法也有很多，大致可以分为三类：（1）数式规律探究（2）图形规律探究 （3）阅读理解型探究规律二、方法归纳四个函数基本模型（1）一次函数模型（也就是高中学习的等差数列）比如：1、3、5、7、9我们都知道，这组数据的规律是2n-1，而2正是这组数据中后一个数减去前一个的差，我们可以把其规律看为：再比如5、9、13、17这组数据的规律是4n+1,4是后项减前项的差，其规律为：所以，如果一组数据具有后项减前项的差恒定的特点，则属于一次函数模型，即：的规律为：,其中（2）幂函数模型（也就是高中学的等比数列）比如这组数据的规
3、律为：，其中是后项与前项的比值，我们可以把其规律看为：再比如：这组数据的规律为：，其中是后项与前项的比值，我们可以把其规律看为：所以，如果一组数据具有后项与前项的比值恒定的特点，则属于幂函数模型，即：的规律为：,其中（3）二次函数模型比如：这组数据的规律为：,我们发现，这组数据的后项与前项的差和比值都不是确定的值，但是我们发现，他们的差是：是属于一次函数模型的，这个特点是判断一组数据是否是二次函数模型的唯一标准，即：后项与前项的差是一次函数模型。对于规律的求解，如果学生的能力足够强，当然可以看出其规律是：,但是，不是所有的学生都可以看出来，下面我介绍一种方法，虽然有些麻烦，但比较实用。当我们判
4、断出一组数据是二次函数规律后，比如我们可以按顺序看成是若干个点：（1，2）、（2，6）、（3，12）、（4，20）取前三个点代入即可，即,两两相减即可得到：,最后得到：即：（4）周期函数比如：2、4、8、6、2、4、8、6，这组数据是以2、4、8、6为循环节的周期函数，如果要知道第N个数字是几，只要用N除以循环节4，所得的余数所对应的数字即为所求，例如，我们想知道第11个数字是几，只要用11除以4所得余数为3，所以第11个数字是8.三、课堂精讲例题 （一）数式规律探究 例1、有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为【难度分级】A类试题来源20
5、07辽宁沈阳中考真题选题意图函数基本模型（二次函数）的应用解题思路很明显可以发现后项与前项的差为：1、3、5、7、9，是二次函数模型的标志特征，利用二次函数模型即可算出其规律为：，把带入，就可以求出第8个数为50，当然，由于此题只是计算第8个数字，也可以利用后项与前项的差按2递增的特点算出第8个数字答案50例2、按一定规律排列的一列数依次为，按此规律排列下去，这列数的第个数是（是正整数）【难度分级】A类试题来源2007广西钦州课改中考真题选题意图函数基本模型（二次函数）的应用解题思路对于分数类的数字型规律题，我们一般把分母、分子分开寻找其规律。对于本题，分子和分母都是二次函数模型。在此思路的基
6、础上，我们很容易发现分子的规律是：，而分母的规律是：答案：（写成或均可）【搭配课堂训练题】1、观察下列一组数：， ，它们是按一定规律排列的 那么这一组数的第k个数是 【难度分级】A类试题来源2009年龙岩中考试题答案2、观察下面的一列单项式：，根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为 【难度分级】A类试题来源2009年青海中考试题答案；3、 观察一列有规律的数：4，8，16，32，它的第2007个数是（ ）ABCD【难度分级】A类试题来源2007湖南张家界课改中考试题答案C例3、将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ，得到一个如图4所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(，)表
7、示第行,从左到右第个数,如(4,3)表示分数.那么(9,2)表示的分数是 .【难度分级】B类试题来源2008恩施自治州中考真题选题意图让学生明白：解规律题也要注意出题的背景解题思路此题的背景是杨辉三角，而杨辉三角的特点是下面的数字是上面两个数字的和，而在此题中，我们发现下面的数字并不是上面两个数字的和，但是，上面的数字却是下面两个数字的和，根据此规律，我们即可得到答案：答案【搭配课堂训练题】1、观察数表根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是_【难度分级】A类试题来源2009恩施自治州中考真题答案-10例4、正整数按图2的规律排列请写出第20行，第21列的数字 【难度分级】B类试题来源2009
8、年广西南宁中考真题选题意图考查学生观察、分析、归纳、总结材料的能力解题思路解决此题的关键点有两个，1：第一列上的数字都是，2：在1的基础上，发现对角线上的数字是：，在此基础上，要解决第20行，第21列的数字是几的问题，只需要计算出21行，21列的数字，然后再减去1，即可。【答案】420【搭配课堂训练题】1、将正偶数按下表排成五列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 28 26根据上面排列规律,则2000应在( ) A. 第125行第1列 B.第125行第2列 C.第250行第1列 D.第250行第2列【难度
9、分级】B类试题来源2001年荆州中考试题答案C例5、观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）,A2 B4 C6 D8【难度分级】A类试题来源2010广东深圳中考真题选题意图有寻环节的规律题的解题方法解题思路很明显，此题以：2、4、8、6为一个循环，将2010除以4，余2，则答案为4【答案】B 【搭配课堂训练题】1、下面两个多位数1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3
10、时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）A）495 B）497 C）501 D）503【难度分级】B类试题来源2010安徽省中考试题答案A（二）图形规律探究例6、王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需 根火柴棒.【难度分级】A类试题来源2009年娄底中考真题选题意图函数模型的应用（一次函数）解题思路三个图形中的火柴根数分别为：9、15、21，很明显是一次函数模型。【答案】6n+3例7、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数
11、；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225【难度分级】B类试题来源2010山东日照中考真题选题意图函数模型的应用（二次函数）解题思路首先得出图1及图2的规律分别为：，所以排除选项A、C，又因为方程没有正整数解，所以也排除，所以选D【答案】D 例8、在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）A
12、 B C D【难度分级】B类试题来源2010山东威海中考真题选题意图函数模型的应用（幂函数）解题思路根据相似三角形的判定原理，得出，得到第二个正方形的边长为：，同理可得第三个正方形的边长为：，考虑到第一个正方形的边长为，可以发现，这是一个幂函数模型。【答案】D 【搭配课堂训练题】1、观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）第1个第2个第3个ABCD【难度分级】A类试题来源2009年重庆中考试题答案D2、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 这样的数称为“正方形数” 从图8中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三
13、角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是（ ）A13 = 3+10B25 = 9+16 C36 = 15+21 D49 = 18+31【难度分级】B类试题来源2009年河北中考试题答案 C3、正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线(k0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)， 则Bn的坐标是_ yxOC1B2A2C3B1A3B3A1C2图9【难度分级】C类试题来源2009年日照中考试题答案 (,).BCAE1E2E3D4D1D2D3 图104、如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，如此继续，可以依次得到点，分别记，的面积为，.则=_（用含的代数式表示）.【难度分级】C类试题来源2009年湖州中考试题答案
