《全国通用高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书文新人教A版2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国通用高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书文新人教A版2(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节函数的单调性与最值考纲传真1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1增函数、减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则都有:(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2);(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使
2、得f(x0)M对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)M结论M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)对于函数f(x),xD,若对任意x1,x2D,x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0,则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(,0)(0,)()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)所有的单调函数都有最值()答案(1)(2)(3)(4)2(2016北京高考)下列函数中,在区间(1,1)上为减函数的是()AyBycos xCyln(x1)Dy2xD选项A中,y在(,1)和(
3、1,)上为增函数,故y在(1,1)上为增函数;选项B中,ycos x在(1,1)上先增后减;选项C中,yln(x1)在(1,)上为增函数,故yln(x1)在(1,1)上为增函数;选项D中,y2xx在R上为减函数,故y2x在(1,1)上是减函数3(教材改编)已知函数f(x),x2,6,则f(x)的最大值为_,最小值为_2可判断函数f(x)在2,6上为减函数,所以f(x)maxf(2)2,f(x)minf(6).4函数y(2k1)xb在R上是减函数,则k的取值范围是_. 【导学号:31222025】由题意知2k10,得k.5f(x)x22x,x2,3的单调增区间为_,f(x)max_.1,38f(
4、x)(x1)21,故f(x)的单调增区间为1,3,f(x)maxf(2)8.函数单调性的判断(1)函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为_(2)试讨论函数f(x)x(k0)的单调性(1)(,1)由x210得x1或x1,即函数f(x)的定义域为(,1)(1,)令tx21,因为ylog2t在t(0,)上为增函数,tx21在x(,1)上是减函数,所以函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为(,1)(2)法一:由解析式可知,函数的定义域是(,0)(0,)在(0,)内任取x1,x2,令0x1x2,那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).2分因为0x1x2,所以x2x10,x1x
5、20.故当x1,x2(,)时,f(x1)f(x2),即函数在(,)上单调递增.6分当x1,x2(0,)时,f(x1)f(x2),即函数在(0,)上单调递减考虑到函数f(x)x(k0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故在(,)上单调递增,在(,0)上单调递减综上,函数f(x)在(,)和(,)上单调递增,在(,0)和(0,)上单调递减.12分法二:f(x)1.2分令f(x)0得x2k,即x(,)或x(,),故函数的单调增区间为(,)和(,).6分令f(x)0得x2k,即x(,0)或x(0,),故函数的单调减区间为(,0)和(0,).10分故函数f(x)在(,)和(,)上单调递增,
6、在(,0)和(0,)上单调递减.12分规律方法1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后应注意差式的分解变形要彻底2利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确易错警示:求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如本题(1)变式训练1(1)(2017深圳二次调研)下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是()Ayx3ByCyDyx(2)函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A(0,)B(,0)C(2,)D(,2)(1)C(2)D(1)选项A,B中函数在定义域内均为单调递增函数,选项D为在定义域内为单调递减函数,选项C中,设x1x2(x1,x20),则y2
7、y1,因为x1x20,当x1,x2同号时x1x20,0,当x1,x2异号时x1x20,0,所以函数y在定义域上不是单调函数,故选C.(2)由x240得x2或x2,所以函数f(x)的定义域为(,2)(2,),因为ylogt在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数tx24的单调递减区间,可知所求区间为(,2)利用函数的单调性求最值已知f(x),x1,),且a1. 【导学号:31222026】(1)当a时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围思路点拨(1)先判断函数f(x)在1,)上的单调性,再求最小值;(2)根据f(x)min0求a
8、的范围,而求f(x)min应对a分类讨论解(1)当a时,f(x)x2,f(x)10,x1,),即f(x)在1,)上是增函数,f(x)minf(1)12.4分(2)f(x)x2,x1,)法一:当a0时,f(x)在1,)内为增函数f(x)minf(1)a3.要使f(x)0在x1,)上恒成立,只需a30,3a0.7分当0a1时,f(x)在1,)内为增函数,f(x)minf(1)a3,a30,a3,0a1.综上所述,f(x)在1,)上恒大于零时,a的取值范围是(3,1.10分法二:f(x)x20,x1,x22xa0,8分a(x22x),而(x22x)在x1时取得最大值3,3a1,即a的取值范围为(3,
9、1.12分规律方法利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法,若函数f(x)在闭区间a,b上是增函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(b),最小值为f(a)请思考,若函数f(x)在闭区间a,b上是减函数呢?变式训练2(2016北京高考)函数f(x)(x2)的最大值为_2法一:f(x),x2时,f(x)0恒成立,f(x)在2,)上单调递减,f(x)在2,)上的最大值为f(2)2.法二:f(x)1,f(x)的图象是将y的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的y在2,)上单调递减,f(x)在2,)上单调递减,故f(x)在2,)上的最大值为f(2)2.法三:由题意可得f(x)1.x2,x1
10、1,01,112,即12.故f(x)在2,)上的最大值为2.函数单调性的应用角度1比较大小(2015山东高考)设a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6,则a,b,c的大小关系是()AabcBacbCbacDbcaC因为函数y0.6x是减函数,00.60.60.60.61.5,即ba1.因为函数yx0.6在(0,)上是增函数,110.61,即c1.综上,bac.角度2解不等式已知函数f(x)是定义在区间0,)上的函数,且在该区间上单调递增,则不等式f(2x1)f的x的解集是_由题意知即所以x.角度3求参数的取值范围(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(,4)上是单调递增的,则实数a的
11、取值范围是() 【导学号:31222027】A. B.C. D.(2)已知函数f(x)若f(x)在(,)上单调递增,则实数a的取值范围为_(1)D(2)(2,3(1)当a0时,f(x)2x3,在定义域R上是单调递增的,故在(,4)上单调递增;当a0时,二次函数f(x)的对称轴为x,因为f(x)在(,4)上单调递增,所以a0,且4,解得a0.综上所述,实数a的取值范围是.(2)要使函数f(x)在R上单调递增,则有即解得2a3,即实数a的取值范围是(2,3规律方法1.比较大小比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是
12、利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域3利用单调性求参数视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数易错警示:(1)若函数在区间a,b上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值思想与方法1判断函数单调性的四种方法(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时为增函数,不同时为减函数(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性判断函数单调性(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值易错与防范1易混淆两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集2分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性,还要注意衔接点3函数在两个不同的区间上单调性相同,要分开写,用“,”隔开,不能用“”连接课时分层训练(五)函数的单