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1、拉长概念形成的思维链条17.1.1 反比例函数的意义的教学尝试 【教材分析】本节教材是新课标人教版第46页至47页的内容，教材的主题内容非常精短.我们知道，学生曾在小学六（下）学过“反比例”，在中学七（下）学过“平面直角坐标系”，在八（上）学过“一次函数”。对“反比例”、“函数”等已经有了一定认识，在此基础上来讨论反比例函数有了一定的经验积累，为这里的学习奠定了较好的基础.学好它，将对后继学习（如二次函数等）产生积极的影响.本节内容是本章的重点之一，也是反比例函数的开端.教材首先在“思考”栏目中提出三个反比例关系的实例，通过对具体情景的分析，从中引出反比例函数并概括出它的概念.然后通过举例和例
2、题丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义.本节的重点、难点都是理解反比例函数的概念.我们知道，八年级学生的思维品质（完备性、深刻性、实践性、批判性等）尚待提高，学生抽象概括能力也有限，对函数的意义理解、数量变化规律的把握还是有一定难度，特别是对抽象的表达式中的变量与常量的取值理解不深. 因此在反比例函数概念的形成过程中，应注重利用学生已有的生活经验与背景知识，创设丰富的现实情境，同时充分让学生自主学习与合作交流相结合，通过举例、说理、讨论等交流形式，巩固、内化、升华其知识，让学生揭示规律，形成数学能力。具体操作如下：1、注意“三看”，引导学生对反比例函数概念的理解.一看形式 .等号左边是
3、函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；二看自变量x的取值范围.由于x在分母上，故取x0的一切实数；三看函数y的取值范围.因为k0，且x0，所以函数值y也不可能为0.2、加强与正比例函数的对照.讲解、交流时可对照正比例函数ykx（k0），比较二者解析式的相同点和不同点. 以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解3、注意形态的变化. （k0）还可以写成 （k0）或xyk（k0）的形式.【教学目标】知识与技能目标：1从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解.2使学生理解并掌握反比例函数的概念3能判断
4、一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式过程与方法目标：1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。3、经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的模型思想情感态度与价值观目标：1经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣。2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。【教学重点、难点】1重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式2难点：理解反比例函数的概念【教学方法】情景探索教学法.教学过
5、程一、丰富情境，领悟新知（设计说明：问题1、2、3、4是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过对两个变量之间的反比例关系的讨论和探究，使学生感受彼此之间特殊的一一对应关系，从而加深对函数概念的理解，然后，启动“互动迁移”栏目，让学生根据自己的理解举例，而后通过改编教材“思考”栏目上的问题成三个填空题，为学生的发现提供了足够的感性材料，在此基础上，让学生通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想，并在交流中领悟概念.）（一）、情境引入根据下面情境，探究有关问题.问题1：（课件展示）请同学们想一想：把一张面值100元的
6、人民币换成面值50元的人民币，可得几张？如果换成面值20元的人民币，可得几张？如果换成10元、5元的人民币呢？设所换成的面值为x元，相应的张数为y元:x（元）502010521xy（张） 你会用含x的代数式表示y吗？ 当换成的面值x变化时，相应的张数y会怎样变化？ 变量y是x的函数吗？为什么？问题2：（课件展示）我们知道：矩形的面积（S）与长（a）、宽（b）之间的关系式为：S=ab，当S=24cm2你能用含有b的代数式表示a吗？利用写出的关系式完成下表b(cm)24681012a(cm)规律：当b越来越大时，a 当b越来越小时，a 变量a是b的 ，理由： 问题3：（课件展示）我们知道，电流I、
7、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时你能用含有R的代数式表示I吗？利用写出的关系式完成下表R（）20406080100I（A）规律：当R越来越大时，I 当R越来越小时，I 变量I是R的 ，理由： 课件定性展示舞台灯光明暗：当I较小时，灯光较暗，当I较大时，灯光较亮.问题4：（课件展示）京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度V（km/h）之间有怎样的关系？变量t是V的函数吗？为什么？在学生完成四个问题的交流后得到四个关系式： ， ， , .至此，教师不要忙于揭示、导引，让反比例函数现身，而应进入新的互动
8、环节，使反比例函数的概念“瓜熟蒂落”.（二）、互动迁移你能举出类似以上的实例吗？并与同伴交流.有了前面4个问题的铺垫，以及小学学过的反比例关系的认识，估计学生能顺利地举例.如：百米赛跑中时间与平均速度的关系；三角形的面积一定，底与高的关系等.诸如此类，都给予肯定，尤其要关注学困生的发言，若出现偏差，也要善于发现闪光点而予以表扬，并做好适当补充、引领.然后教师在展示几个备好的填空，进一步强化反比例函数模型.1、某住宅小区要种植一个面积为1000 平方米的矩形草坪，草坪长为y米，宽为x米，则y关于x的关系式为；2、已知北京市的总面积为1.68104 平方千米，全市总人口为n人，人均占有土地面积为s
9、平方千米，则s关于n的关系式为；、京沪线铁路全程为463km，某列车平均速度为v（kmh），全程运行时间为t（h），则v关于t的关系式为.答案依次为： ， ， .（教学说明：情景引入与互动迁移两个环节的教学，可先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数,了解所讨论的函数的表达形式.通过一波三折，反比例函数的概念已是呼之欲出.一折是问题1-4的交流，二折是学生的自主举例，三折是三个填空，以构建互动、和谐的课堂教学氛围为依托，帮助学生完成了对反比例函数概念从感性体验到理性认知的过渡.）（三）、明晰概念师：前面我们已获取了不少的关系式：
10、 ， ， ， ， ， ， 请同学们认真观察，思考以下问题（按顺序完成一个再出示下一个）：（1）这些关系式都体现了函数关系，那它们是我们已学过的一次函数、正比例函数吗？（2）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（3）它们有一些什么样的共同特征？（4）从问题1-3的表格可以发现两个变量成什么关系吗？（5）你能归纳出反比例函数的概念吗？形成如下认识：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成 （k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数.师：这就是我们今天学习的反比例函数概念，他是继一次函数后的又一种新函数，从今天起，函数家族又多了一个新成员，随着学习的深入，
11、今后我们还要研究其它函数.（教学说明：引导学生在体验探究的过程中，感受知识的发现、形成和构建过程，使学生从获得的关系式中，抽象出反比例函数的一般形式，并借此提出反比例函数的概念，通过让学生感受从特殊到一般的思考方法，发展学生的抽象思维能力，同时也为知识的内化和正迁移创造了条件，培养了学生建模的意识.） （四）、领悟概念请同学们通过下面的问题串，领悟概念（1）反比例函数关系式中有几个变量？（2）变量之间存在什么关系？（3）还有其它形式吗？若有，并指出来（4）对x、y、k有什么具体要求？为什么？（5）它与正比例函数有哪些区别与联系？通过问题（5）的回答回应以上4个问题.明确如下：联系：1它们都有两
12、个变量；2都含比例系数“k”；区别： 1反比例函数中两个变量的积是一个非零定值；正比例函数中两个变量的商是一个非零定值.2反比例函数中自变量x位于分母，表达式呈分式；正比例函数中的自变量x处于整式中.3自变量x的次数不同：反比例函数中自变量x的次数为-1，故可写成 （k0）或xyk（k0）的形式；正比例函数中自变量x的次数为1.4自变量x的取值范围不同：反比例函数中自变量x取除零外的任何实数；正比例函数中自变量x可取任何实数.5函数y的取值范围不同：反比例函数中y取除零外的任何实数；正比例函数中y可取任何实数.（教学说明：引导学生仔细审视列出的各函数关系式以及反比例函数的定义式，使之与我们以前
13、所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出异同，进而发现其本质特征.教学时要紧抓概念中的关键词，以确保学生对概念认知的系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为ykx1(k为常数，k0)的形式，并结合旧知验证其正确性.）二、自主演练，内化新知.（设计说明：通过练习1，使学生进一步熟悉从实际问题中抽象出反比例函数，体验反比例函数在生活中的应用价值及模型作用；通过练习2，巩固反比例函数的概念；通过补充练习3，进一步突出反比例函数的本质特点，理解其意义.）1、请同学们独立完成P47，练习的1题.2、请同学们独立完成P47，练习的2题.3、下列等式中的y是x的反比例函数吗？若是，指出
14、k的值.（1） （2） （3）xy0 （4） （5） （6） （7）y4x1 （8） 答案1、（1） ；（2） ；（3） .2、xy123.3、解析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 （k为常数，k0）的形式，这里（1）是整式，（3）中的k=0，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是 ，分子不是常数，只有（2）、（5）、（7）能写成定义的形式，它们的k依次为： ， ，4.（教学说明：利用学生对反比例函数概念的初步认识，引导学生借助自主练习，进一步加大学生对该概念的正迁移力度，初步把握其内涵与外延.）三、拓展应用，升华新知（设计说明：例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题
15、，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系.例2是对反比例函数概念的逆向认识，是另一种形式ykx1的应用，以图深入理解概念.而例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但处理得当能提高学生分析、解决问题的能力.紧随其后，设置了4个练习，一是巩固例题的成果，二是进行了适当延伸，特别是5题以表格的形式出现，既回应了课始问题的对应形式，实现了表格与函数关系式的相互转化，同时又为下一节画反比例函数的图像做了孕伏.）例1、已知y是x的反比例函数，当x=2时y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时，y的值.分析：因为y是x的反比例函数，所以先设 ，再把x2和y6代入上式求出常数k，即利用了待定系数法确定函数解析式.解：（1）
