2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：选修4-4第2节参数方程

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1、第二节参数方程考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程.抓基础自主学习|知识植理1.曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x, y）都是某个变x=f t ,数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点y=g tP（x, y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系 X,y之间关系的变数t叫作参变数,简称参数.2,直线、圆、椭圆的参数方程X = X0+tCOS %过点M（X0, yo）,倾斜角为a的直线l的参数方程为Xiy=yo+tsin a为参数）.x=xo+ rcos 也（2

2、）圆心在点Mo（x。，y。），半径为r的圆的参数方程为（1y=y0+rsin 8参数）.x2 y2x=acos（3）椭圆b2=1（ab。）的参数方程为丫侯小（小为参数）.学情自渊1 .（思考辨析）判断以下结论的正误.（正确的打“，错误的打x）（1）参数方程t 中的x, y都是参数t的函数.（）y=gtx= xo+tcos a,（2）过M（x。，y。），倾斜角为a的直线l的参数方程为y”+tsin a （t为参数）.参数t的几何意义表示：直线l上以定点M。为起点，任一点M（x, y）为终点的有向线段M0M的数量.x= 2cos E方程表示以点（0,1）为圆心，以2为半径的圆.（t为参数），点

3、M在椭圆上，对应参数冗 t=3.y= 1 + 2sinx=2cos t.椭圆的参数方程.y=4sin t点O为原点，那么直线OM的斜率为V3.答案，Xx= 1 + cos 0,2 .（教材改编）曲线y + sin e （为参数）的对称中心（A.在直线y=2x上直线y= 2x上C.在直线y=x1上直线y=x+1上x= 1 + cos B 由 c .八y= 2 + sin 0,所以(x+1)2+(y 2)20,=1.cos 仁 x+ 1 , 得sin 8= y2,曲线是以（一1,2）为圆心，1为半径的圆,所以对称中心为（1,2）,在直线y= -2x.x= 2+t,3.（教材改编）在平面直角坐标系中

4、，曲线 C:（t为参数）y= 1 +的普通方程为22x-y- 1 = 0 由 x= 2+ 2 t,且 y= 1+ 2 t,消去 t,得 x y=1,即 x-y1=0.y 22t。为参数），那么C1与C2交点的直角坐标为4 .在平面直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为 cos 9+ sin 9 = 2,曲线C2的参数方程为 x= t2,(2, 4)由 p(cos 叶sin 9= -2,得 x+y= 2.x= t2,V=昭,消去t得y2=8x.x= 2,联立得丫_ I 即交点坐标为（2, -4）./ 1 x= 1 +2t,5 . （2021江

5、苏高考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=cos 0,。为参数），椭圆C的参数方程为y=2sin e （e为参数）.设直线l与椭圆C相交于A, B两点，求线段AB的长. 解椭圆c的普通方程为x2+y2= i.x= 1 + ,将直线l的参数方程3y= 23 t2代入x2+y423t/口 1 22 t=1,得 1+3 + = 1,即 7t2+ 16t=0,10分解得 t1 = 0, t2=与，所以 AB= |t1 t2| =4.明考向题型突破|参数方程与普通方程的互化x= a 2t ,直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为y= 4tx= 4cos 0,y= 4sin 0(

6、为参数 1求直线l和圆C的普通方程；假设直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解（1）直线l的普通方程为2x y2a = 0,2分圆C的普通方程为x2+y2= 16.4分（2）因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d = |滑104,8分解得-2/5wa&2邓.10分规律方法1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角包等变换消去参数.2 .把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形.x=t,变式训练1在平面直角坐标系xOy中，假设直线l:（t为参数）y=t ax=3cos 小，

7、过椭圆C：”为参数）的右顶点，求常数a的值.y=2sin 小解直线l的普通方程为x-y-a = 0,椭圆c的普通方程为+y2= 1,4分9 4所以椭圆C的右顶点坐标为（3,0）, 假设直线l过椭圆的右顶点（3,0）,10分那么3 0a=0,所以a= 3.参数方程的应用x2v2x = 2 +1,曲线C：7 +气=1,直线l： y.-2（t为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【导学号:57962486】x= 2cos 0,解曲线C的参数方程为y=3sin e（为参数直线l的普通方程为2x

9、何意义解题.变式训练2 (2021石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方jt a= 6.x= 4cos E程为(8为参数)，直线l经过点P(1,2),倾斜角y= 4sin 0(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与圆C相交于A, B两点,求|PA| |PB|的化x= 4cos 0,解(1)由 ) . 消去6,y= 4sin 0,得圆C的普通方程为x2+y2=16.- IT又直线l过点P(1,2)且倾斜角a=6,jtx= 1 +tco%, 所以l的参数方程为冗y=2 + tsin.,3x=1 +亍 t,1 y=2+2t(t为参数).4(2)把直线l的参数方程,3x

10、=1+ 2 t1 y=2+2t代入 x2 + y2= 16t + 2 + 2t16, t2+(V3+ 2)t11 = 0,|PA| |PB|=|tit2|=11.8分10分所以 tlt2= -11,由参数方程的几何意义,1考向3| 一参数方程与极坐标方程的综合应用,例国(2021全国卷田)在直二坐标系xOy中，曲线 C1的参数方程为x= 3cos o(a为参数).以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立 y= sin a极坐标系，曲线C2的极坐标方程为份in 9+ 4 =2叵(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标

11、.2解(1)C1的普通方程为W+y2=1,2分3由于曲线C2的方程为向in 8+4 =2收，所以 psin 0+ pcos 8= 4,因此曲线C2的直角坐标方程为x+ v 4=0.4分(2)由题意，可设点P的直角坐标为(V3cos & sin o).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d( a)的最小值，8分P 、 143cos a+ sin a 4| 不九 c又 d(c)=y2=#2 sin a+ 3 2 ,当且仅当卡2kTt+6(k Z)时，d( 取得最小值，最小值为V2,此时P的直 .31角坐标为2, 2 .10分规律方法1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方

12、法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ( 和8的几何意义，直接求解，可化繁为简.变式训练3 (2021石家庄市质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x二y= 3+骼(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为p= 4sin 0- 2cos 6(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；假设直线l与y轴的交点为P,直线l与曲线C的交点为A, B,求|PA|PB| 解(1)直线l的普通方程为x- y+ 3=0,; p = 4 psin

13、 0 2 pcos 0,曲线C的直角坐标方程为(x+ 1)2 + (y 2)2 = 5.4分_ .12(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C： (x+ 1)2+(yX 2 t，12y=3+/t2)2 = 5,得到 t2 + 22t 3=0,8 分.t1t2= 3, .|PA|PB|=|t1t2| = 3.10 分名婶微博&思想与方法1 .参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2 0+ sin241,1 + tan2 8=一COS 6r2 .利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法.3 .将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分表达了转化与化归思想的应用.易错与防范1 .将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性.在消去参数的过程中，要注意x, y的取值范围.2 .确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.3 .设过点M(x% y0)的直线l交曲线C于A, B两点，假设直线的参数方程X = X0+tCOS a,为(t 为参数)注意以下两个结论的应用：y=y0+tsin a(1)|AB|=|ti12|;(2)|MA| |MB|=|ti t2.

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