平面的基本性质教案

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1、学习好资料欢迎下载“平面的基本性质”教案、教案说明及点评张宏海 执教（内蒙古包头市第一中学）章建跃 点评（人民教育出版社中学数学室）教案课题 9.1平面的基本性质（2）课型新授课教材人教版高中数学第二册下B教学 目标1. 经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美，以及数 学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。2. 在学生动手操作，自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，在此过程中， 培养学生观察、实验、猜想的能力，并要求学生掌握推论的内容。3. 在经历推论1的证明过程中，培养学生推理论证的能力，体会数学的严谨性。教学 重点1. 发现公理的三个推论及对推论1的证明。2. 文子

2、语言、图形语言、符号语言间的互译。教学 难点1. 对“有且只有一个”语句的理解。2. 对推论1的“存在性”与“唯一性”的证明及书写格式。3. 平面的基本性质的简单应用。教法 分析根据对教材的重点、难点、教学目标及学生情况的分析，本着教法为学法服 务的宗旨，确定以下教学方法：本节课采用探究发现式教学法，并利用实物投影辅助教学。遵循“以学生为主体， 教师为课堂教学活动的组织者、引导者、参与者”的现代教育思想。依据本节课 的特点，引导学生通过实验进行观察、分析，发现公理的三个推论，并加深对“有 且只有一个”语句的理解。通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解 公理推论的实质和作用。由于学生初次

3、接触“存在性”和“唯一性”的证明，因 此通过模型的直观性引导学生以公理 3和公理1为主要的推理依据进行分析，培 养推理论证的能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师要板书，使学生熟 悉证明的书写格式。最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言 和符号语言。本节课以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近发 展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究发现，在师生互动、生生互 动中，让学习过程成为学生心灵愉快的主动认知过程。教学 过程 设计创设情境一组织活动一探索发现一建构理论一尝试应用一回顾反思教具竹签、垫板、实物投影教学过程一、立体几何中的符号语言 创设情境板书：一加一

4、等于二1+1=2师：如果让你选择其中一种方法表示，你更喜欢哪一种?师：为什么?师：好，这就体现了我们数学中的一种简约美，这种简约美在立体几何中也 有很好的体现。我们可以把线、面看成是点的集合，这样的话，点与直线、 点与平面的位置关系就是元素与集合的关系，直线与直线、直线与平面、平 面与平面的位置关系就是集合与集合之间的关系，那么，我们能用已经学过 的集合语言来描述一下空间中的点、线、面的位置关系吗？请看题：组织活动：（实物投影）点A在直线I上 （A I）点B在直线I外（B -T） A点A在平面内（A】）B点B在平面：外（B-）:-直线a和直线b相交于点00（aClb =0）平面与平面一：相交于

5、直线Ia（: = I）-（或丨二：工且I ）学生在下面练习，可以互相讨论。把学生答案通过实物投影展示构建符号空间图形位置关系，可以用集合符号来表示。尝试应用：公理1的内容（即条件和结论）是什么？图形表示是什么？怎样运用符号来 表示？公理1：A :B三直线AB :师：任何事物都是相对的，符号语言是很简洁，但也不是万能的，有时需要 辅以必要的文字说明。以公理 3为例让学生体会。公理3： A、B、C三点不共线 二有且只有一个平面 g，使*C 回顾反思：立体几何的研究对象是立体图形，图形直观地反映了空间点、线、面的位置 关系，文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简 单化和再次抽象

6、，对于研究对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使 抽象与直观结合起来，学习立体几何的过程中，要求同学们能够将三种语言 进行熟练的转化，文字语言或是图形语言转化为符号语言的时候，一定要做 到既不重复又不遗漏且符合原意，有时符号与文字共用，这说明任何事物都 是辩证的。二、确定平面的方法创设情境公理3的作用是什么？并以教室的门为实例，分析“有且只有一个”是“确 定”的意思。所谓“确定”就是固定住了。师：公理3用不共线的三点确定了一个平面， 那么，根据大家的生活实践经 验，还有其它确定平面的方法吗？组织活动：学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。要求学生动手实验，如何把垫板固定住？探索

7、发现：派学生代表上讲台交流实验发现的结果。师：如果把两根竹签抽象成两条直线， 垫板抽象成一个平面，那么我们会得 到什么样的结论？学生：思考构建理论：引导学生归纳总结得出结论：1. 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。师：公理是无需证明的，但对于上述结论的正确性，还是需要进行严格的证 明。分析：（1）与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是：第一步：根据题意作图，写出已知、求证。 第二步：写出证明过程。（2）对于“有且只有”型命题的证明，要从“有”和“只有”两方面证明 即既要证明存在性“有”，又

8、要证明唯一性“只有”。（3）化生疏为熟悉，化未知为已知是我们常用的解（证）题方法。师：命题1的图形语言是怎样的？在黑板上画出图形。引导学生写已知和求证，说出证明思路。师板书：已知：A l求证：经过点A和直线I有且只有一个平面。证明：存在性：在直线I上任取两点B，C,据题意A、B、C三点不共线根据公理3,经过不共线的三点A、B、C有一个平面:B ，C I -用（公理 1） 所以平面就是经过直线I和点A的平面。（唯一性）；B I，C I任何经过点A和I的平面一定经过点A、B、C，T三点A、B、C不共线，据公理3,这样的平面只有一个，由可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面 尝试应用实物投影

9、如下练习： 练习：判断下列命题是否正确。1. 不共线的三点确定一个平面。2. 有三个公共点的两个平面重合。3. 三角形一定是平面图形。4. 平行四边形一定是平面图形。5. 四边形一定是平面图形。6. 不共线的四点确定一个平面。7. 两条直线确定一个平面 回顾反思（2）：师：本节课学到了哪些知识？在学生讨论交流的基础上教师归纳。布置作业证明推论2及推论3板书设计 9.1平面的基本性质（2）实推论1一加一等于2物推论21+1=2投推论3符号语言：影推论1的证明A引B更丨A E a B 童 aab = 0 m 仃 0 = 1练习教案说明一、教学内容及其地位和作用平面的基本性质共2课时，本课是第2课时

10、，任务是让学生掌握立体 几何的符号语言和公理的三条推论。 在第1课时中，学生已经掌握了平面基本性 质的三条公里的内容及其作用，高一已经学习了有关集合的内容，本课是在此基 础上继续熟悉立体几何的图形语言， 学习符号语言，学习确定平面的更多方法一 公理的三条推论。平面的基本性质是立体几何的起始课，立体几何课程是初等几何教育 的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的， 以空间图形的性质、画法、 计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法。通过立体几何的教学， 使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形， 完成由二维平面向三维空间的转 化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决

11、问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础，“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概 念，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介， 在立体几何平面化的过 程中具有重要的桥梁作用。平面的基本性质是通过三条公理及其推论来刻画的，是以后演绎推理的逻 辑依据，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学 表述方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面 转向空间。二、本课的数学本质与教学目标定位立体几何的符号语言是数学简约美的重要体现之一，从运动的观点来讲， 线可以看成是点的轨迹，面可以看成是线

12、的轨迹，因此，线、面可以看成是点的 集合，从而抽象出用集合语言描述点、线、面关系的符号语言。平面的基本性质 的三条公理和公理的三条推论来源于大量的生活现实，如：板凳至少需要几条 腿？若干条腿放成一排行不行？为什么三条腿的凳子一定是稳的，而四条腿的凳子就可能出现不稳的现象？自行车怎样才能稳稳地站住？家家户户为什么上一 把锁就安全了？怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？为什么 用水平仪交叉放两次就可以知道桌面是否水平？这些是学生能够感知的生 活现实，大千世界，数学无处不在，教学中，通过捕捉生活中的数学现象，抽象 得出公理的三条推论，使生活问题数学化，让学生感受数学与现实生活的联系， 从

13、现实生活中发现数学、学习数学、理解数学、应用数学，从而感受数学的魅力。 正如荷兰数学家弗赖登塔尔在他所著的 作为教育任务的数学一书中所讲：“数 学起源于现实”，“数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上 发展他们的数学现实。”基于此，本课的教学目标定位在：1.经历用集合符号表示空间图形位置关系 的过程，体验数学的简洁美，以及数学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。2. 在学生动手操作，自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，进行“数学来 源于实践”的唯物主义观念的教育，在此过程中，培养学生观察、实验、猜想、 归纳的能力，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点， 并要求学生掌握推论

14、的 内容。3.在经历推论1的证明过程中，培养学生言必有据，一丝不苟的学习品质。三、教学诊断分析在高一学生已经学习了有关集合的内容，并且经过函数、方程、不等式， 三角函数等一系列内容对集合语言的应用， 学生已经非常熟悉，所以很容易发现 并掌握用集合语言表示空间点、线、面位置关系的符号语言。基于大多数学生本 身的“数学现实”，老师在课上的引导和学生们动手探究的实践过程，学生也容 易抽象出数学命题即推论1.2.3.，但在证明推论的过程中，有一点是学生不容易 想到的，也是学生难以理解的，就是关于“唯一性”的证明，如推论 1.的证明过 程：在直线I上任取两点B、C,因为A-I，所以A、B、C三点不共线，

15、学生容 易就此根据公理3证得推论1,事实上，这样只证明了“存在性”，这里必须强 调“唯一性”的证明。四、教法特点和预期效果分析原苏联数学教育家斯托利亚尔在他所著的数学教育学一书中指出：“数学教学是数学活动的教学 ”，“数学活动是思维活动，对数学家而言，这是一个 发现活动；对于数学教学来说，我们要教给学生的不是死记现成的材料， 而是发 现数学真理（自己独立的发现科学上已经发现了的东西），学生发现那些在科学 上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的。”在弗赖登塔尔的论述中也指出：“学生通过自己努力得到的结论和创造是数学教育内容的一 部分”。新课标也在倡导积极主动、勇于探索的学习方式。基于这样的理念的指 导，结合本课的教学内容，本课采用探究发现式教学法，以问题为载体，学生活 动为主线，给学生留下思考的空间，为学生创造合作、探索、发现、创新的氛围， 激发学生的学习兴趣，体现学生的主体地位，将传授知识和培养能力融为一体。