《亚克力平板的受力凹陷及解决方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《亚克力平板的受力凹陷及解决方法（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、亚克力平板的受力凹陷及解决方法一、受力分析概况1、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。t/bW1/5时,为薄板；图(1 )w/tW1/5时，为小挠度;按小挠度薄板计算(w为薄板在垂直于中面的变形量);2、载荷与内力载荷：平面载荷：作用于板中面内的载荷 横向载荷：垂直于板中面的载荷 复合载荷：包含上述两项载荷的合成；内力：薄膜力一一中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形；弯曲内力一一弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形；当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂
2、的多。现仅讨论弹性薄板的小挠度理论。3、弹性薄板的小挠度理论基本假设： 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法 线w的挠度;只有横向力载荷。 变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。 平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。研究：弹性，薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题二、圆平板对称弯曲微分方程分析模型t/2t/2a.Rd9droc.QrQr+祟打Qr+ 祟 drMr+ 祟 dr /1一-船PMe - m d卜 5+ *dr.rb.Qrd.MeM(图(2 )Pz分析模型：
3、半径R,厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz,在r、。、z圆柱坐标系中， 有内力Mr、M0、Qr三个内力分量；r轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、0、z圆柱坐标系中，挠度w只是r的函数，而与。无关。de微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为d。的两个径向截面截取板上一微元体。图(3)如下：b.微元体内力：径向：Mr、Mr+ (dMr/dr) dr周向：MO横向剪力：Qr、Qr+ (dQr/dr) dr 微元体外力：上表面P = p rd0 drdQryzdrQ+rrdrTzPd 0doTob.fMPrza.IdQr drdM r drdrdMr .蛆drQr3屿d.Qr+ d；打r
4、+ dgr - M 0 + Q r = 0d0 + QrdOdr + prdOMrr =dr dr2 % 匕皈诚dr dr+ r1、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即SMT=0MrM)3* + dr 0 一 M-rd0 一 2M)dr sinQr+P图(4 Mo(2-1)M 0RrMr0圆平板在轴对称载荷下的平衡方程)图(5 )如下:yQroc.M0pMrQrdrQr+drrdrdrrdMrM +drM 0tr2、几何协调方程（W e ）取AB = dr ,径向截面上与中面相距为z,半径为r与r + dr两点A与B构成的微段板变形后:微段的径向应变为七G + 理=z迎（第
5、2假设） drdr过a点的周向应变为8 = 2（r+G-2兀r = z堕（第1假设）。2 兀 rr作为小挠度9=-主，带入以上两式，得dr应变与挠度关系的几何方程：(2-2)d 2 w dr 2z dwr dr3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定 律可得圆板物理方程为：(2-3)4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-2 )代入(2-3)式:Ez1 - p 2 dr 2Ez!竺+凹空r dr /1 dwd 2 w +日厂dr 2 J（2-4）通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr和M0表示成w的形式。由式（2-4） 可见，br和气沿着厚度
6、（即z方向）均为线性分布，图（7）中所示为径向应力的分布图。图（7）圆平板内的应力与内力之间的关系b、b0的线性分布力系便组成弯矩Mr、M0。单位长度上的径向弯矩为:M =j； b zdz = -j；工 f 也 + h 纠 z2dz r-七 r- 41 - p 2 dr 2r dr ,22睥J d2 w p dw）s l、M =- D + （2-5a）r dr 2r dr J同理M =- d-空+ p0 r drj dr 2 J（2-5b）Et 3、12 G-p 2 )“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关，将（2-5）代入（2-4），得弯矩和应 力的关系式为:12 Mb = r Zr13
7、12M(2-6)(2-5)代入平衡方程(2-1),得:d 3 w+ dr 31 d 2 w 1 dw Q r dr 2 r 2 dr即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程:ddr1 dr dr(& )rTk dr )(2-7)Qr值可依不同载荷情况用静力法求得三、圆平板中的应力承受均布载荷时圆平板中的应力：简支;固支;承受集中载荷时圆平板中的应力一、承受均布载荷时圆平板中的应力图(8)均布载荷作用时圆板内Q的确定r据图(8)，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即:冗 r 2 p pr代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为:ddr1 dr dr(dwrTk dr)p
8、r2D对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率:Cr C2 r(2-8)对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。w =器+号+C?m r+C(2-9)气=t 9七C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 =0 ,于是上述方程改写为：dw _ pr3C r(2-10)dT 6D+ 2pr4 Cr2w = + i + C64D43式中C1、C3由边界条件确定。下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件） 周边固支圆平板 周边简支圆平板a.b.周边固支圆平板周边简支圆平板图（9）承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处
9、不允许有挠度和转角）a.图（10）周边固支圆平板r = R,处=0 drr = R, w = 0C = PR2 将上述边界条件代入式（2-10）,解得积分常数：18DC =13 64D代入式（2-10）得周边固支平板的斜率和挠度方程：生(r2 r2)dr16 Dw = (R 2 - r 2)64 D(2-11)将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-5）,便得固支条件下的周边固支圆 平板弯矩表达式：M = R2(1+h)-r 2(3 + p) r 16 lMe = R2(1 + p) - r2 (1 + 3p)（2-12）由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式（
10、Z=t/2）：b =干二=干-PR 2 (1 +p)- r 2 (3 +p) rt268 t2b =干M =干-PR2 (1 + p)-r2 (1 + 3p)e伊6812-J（2-13）周边固支圆平板下表面的应力分布，如图（11）所示。最大应力在板边缘上下表面，即G ） =*R图（11）圆板的弯曲应力分布（板下表面）2、周边简支圆平板将上述边界条件代入式（2-10），解得积分常数C1、C3：代入式（2-10）得周边简支平板的挠度方程：64 DfG 2 r 2) + 4 R 2 G2 - r 2)(2-14)b.图（12）周边简支圆平板弯矩表达式：M = (3 + )(R2 - r2) r 16
11、（2-15）M = R 2 (3 +Q- r 2 (1 + 3卜)一e 16 l应力表达式:b =干-(3 + )(R2 - r2)r 8龙(2-16)b =干3 R2(3 + 卜)一 r2 (1 + 3p)e812J可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处r = 0，(M ) =(M ) = R-(3 + Qr max e max 16G) =G) =3(3 G 既r max e max 812周边简支板下表面的应力分布曲线见图（11b）。3、比较两种支承a.边界条件周边固支时：r R, r = R,空=0 drw = 0.r = R.周边简支时：r = R,w = 0M, = 0b.
12、挠度周边固支时，最大挠度在板中心wf = -R（2-17）max 64 D时:我们知道：亚克力板的弹性模量E=3. 06GPa,u =0. 32, P =1. 19g/cm3,当R=500mm(1) : t=3mm,D =767. 13kg. mm, Wmax (f) =4. 54mm(2) : t=4mm,D =1818. 38kg. mm, Wmax (f) =2. 56mm(3) : t=5mm,D =3551. 5kg. mm, Wmax (f)=1. 64mm周边简支时，最大挠度在板中心伙=5凹竺(2-18)max 1 + 64 DU =0. 32, Wmax (s) / Wmax
13、(f) =5+ u /1+ u =4. 03(1) : t=3mm, Wmax (s) =4. 54x4. 03=18. 3mm(2) : t=4mm, Wmax (s) =2. 56x4. 03=10. 3mm(3) : t=5mm, Wmax (s) =1. 64x4. 03=6. 6mm而当R=1000mm时：(1) :t=3mm,Wmax (f)=72.7mm,Wmax(s)=72. 7x4. 03=293mm;(2) :t=4mm,Wmax (f)=40.9mm,Wmax(s)=40. 9x4. 03=164. 8mm;(3) :t=5mm,Wmax (f)=26.2mm,Wmax(s)=26. 2x4. 03=105. 6mm;表明：周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。尽量采用周边固支板。c. 应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为(2-19)周边简支圆平板中的最大正应力
