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1、A.7 EOF分析经验正交函数分析方法(empirical orthogonal function.缩写为EOF),也称特征 向量分析(eigenvector analysis),或者主成分分析(principal component analysis.缩 写PCA),是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方 法。Lorenz在195()年代首次将其引入气象和气候研究，现在在地学及其他学科中 得到了非常广泛的应用。地学数据分析中通常特征向量对应的是空间样本，所以 也称空间特征向量或者空间模态；主成分对应的是时间变化，也称时间系数。因 此地学中也将EOF分析称为时空分解。原理与
2、算法选定要分析的数据，进行数据预处理，通常处理成距平的形式。得到一个数 据矩阵乙心“计算X与其转置矩阵XT的交叉积，得到方阵cmxm = -XxXTn如杲X是已经处理成了距平的话，则C称为协方差阵；如杲X已经标准 化(即C中每行数据的平均值为0,标准差为1),则C称为相关系数阵计算方阵C的特征根(儿凹)和特征向量二者满足Xx JH Vr/iX/M X其中A是mxm维对角阵，即Ai 0.00 A2 .0A =00 . Ani 一般将特征根入按从大到小顺序排列，即入1 入2 . 丸“。因为数 据X是真实的观测值，所以入应该大于或者等于()每个非()的特征根对应 一列特征向量值，也称EOF。如入1对
3、应的特征向量值称第一个EOF模态， 也就是U的第一列即EOFi = V(:.l);第九对应的特征向量是U的第斤列， 即 EOFk = Vk).计算主成分。将EOF投影到原始资料矩阵X上，就得到所有空间特征向量对 应的时间系数(即主成分)，即其中PC中每行数据就是对应每个特征向量的时间系数。第一行PC(1,:)就是 第一个EOF的时间系数，其他类推。上面是对数据矩阵X进行计算得到的EOF和主成分(PC),因此利用EOF和PC也 可以完全恢复原来的数据矩阵X,即X = EOF x PC有时可以用前面最突出的几个EOF模态就可以拟合出矩阵X的主要特征。此 外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明
4、x PCT = A；即不同的PC之 间相关为0。E x ET = I. I为对角单位矩阵，即对用线上值为1,其他元素都 为0。这表明各个模态之间相关为0,是独立的由上面的计算过程可以看出，EOF分析的核心是计算矩阵C的特征根和特征向 量。计算矩阵特征根和特征向量的方法很多，下面具体给出Matlab中进行EOF分 析的两种不同的方法.具体步骤可参考下面两个框图中的实例。方法1:调用rEOF,El=eig(C),其中EOF为计算得到的空间特征向号，E为特 征根。然后计算主成分PC = EOFT x 需要指出的时，当数据量很大时，例 如分析高分辨率的资料(如lkm分辨率的NDVI资料)，空间范围很大
5、维数m很容易 超过数万个点，则矩阵C的维数是个巨大量，需要占用大量内存，也会导致计算 速度异常缓慢。而且很可能超出计算机的计算圾限而死机。方法2:直接对矩阵X进行奇异值分解X =吃厂其中刀为奇异值对交阵(刀对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关 系.如果矩阵C=XXT, C的特征根为入，则有刀=応；如果矩阵c = xxT, c的特征根为入，则有e = yx；由于该方法是直接对矩阵x进行分解，所以对内存的要求远小于方法1.计算速度 很快。两种方法对比练习。显著性检验可以证明mmmi=lfc=lt=l这说明矩阵X的方差大小可以简单的用特征根的大小来表示。入越高说明其对应的 模态越重要，对
6、总方差的贡献越大。第A个模态对总的方差解释率为HI1=1x 100%#即使是随机数或者虚假数据，放在一起进行EOF分析，也可以将其分解成一 系列的空间特征向量和主成分。因此，实际资料分析中得到的空间模态是否是随 机的，需要进行统计检验.North等(1982)的研究指出，在95%置信度水平下的特 征根的误差入是特征根，2是数据的有效自由度，这在前面相关系数分析中已经有介绍(见4 页相关内容)。将入按顺序依次检查，标上误差范围。如果前后两个入之间误差范围 有重叠，那么他们之间没有显著差别。Q 图A.16是对1949 - 2002年北半球1月平均海平面气压，做距平处理处理及面积 加权后进行EOF分
7、析的结果。从特征根误差范围看，第一和第二模态存在显著差 别，第二和第三模态之间也存在显著差别。但是第三特征根和第四及以后的特征 根之间没有显著的差别。如果要分析主要的模态的话，最好只选择前三个进行分 析。练习：利用E,V =eig(C)计算矩阵X的特征向量和主成分X二2 6 1 5 2;9 4 0 5 4；X(l,:)=X(1,:)-nean(X(l,:); X(2,:)=X(2,:)-mean(X(2,:);得到X的距平值：X-1.202.80-2.201.80-1.204.60-0.40-4.400.60-0.40WJ co-variance matrixC-XX/5;协方差阵O3.760
8、.920.928.24E0F,E-eig(C); X V: eigenvectors; E: eigenvaluesPC-EOFX;X% reverse the orderE=fliplr(flipud(E)lambd&diag(E); X retain eigenvalues onlyEOF=fliplr(EOF)POflipud(PC)得到E0F=0.19-0.980.980.19得列转征根8.42003.58得到主成分PO4.280.152.07282-4.741.310.941.65-0.621.10#处checkEOFEOF* % = I 栓查EOF的正交性得刘：1.00 001.0
9、0POPL/5 7. = lambda 检查PC的正交ttflFfl:8.420.000.003.58E0FPC % X可以完全恢复X的距半值：1.80 -1.200.60-0.40-1.202.80-2.204.60-0.40-4.40练习：利用u,S, V =svd(X)计算矩阵X的特征向量和主成分X2 6 1 52；9 4 0 54；X(lf：)-X(l,:)-mean(X(l,:)X(2,:)X(2,:)-mean(X(2:)9X的距平是：-1.202.80-2.201.801 204.600.40-4.400.60-0.40nJSV-svd(X);得到u=0.190.980.980.
10、19S=6.490 0 000 4.23 0 00V=0.66-0.490.560.09-0.060.020.670.63-0.320.22-0.73-0.310.530.25-0.160.140.390.030.910.06010-0.26-0.020.060.96EOF-U；PC=SV; 得到PO4.280.15-4.740.94062-2.072.82-1.311.65-1.10E-S.*2/5;lambdaE的软值与上面得到的杵征根完全一样即E乞8.42000003.58000E0DPC %可以完全恢复X的距平值：1202.80-2.201.80-1.204.60-0.40-4.400
11、.60-0.4046810Number1970198019902000YearE0F1 26.1%0.040.020-0.02-0.04-0.06-0.08图A.1G:北半球1月海平面气压EOF分析的第一特征向量.为特征根及95%信度 误差，（b）第一特征向量，（c）第一主成分，（1）第一主成分偏强+”时海平面气压的 变化量（hPa）. 1949 - 2002, NCEP/NCAR再分析资料结果展示通常情况下，主成分是有单位的，即反映的是矩阵X的单位，而空间特征向量是 无量纲的。不过实际应用中常常对EOF分析得到的主成分和特征向量进行标准化 处理得到新的卩C*和EOF*PCk) =EOF =
12、EOF(k) y/X或者是简单地将PC标准化，使得其平均值为()，标准差为1。再将它与原始资 料矩阵X进行回归分析，这样就得到PC变化一个单位时，变量X对应的响应的 空间特征及其强度.这样得到的回归系数的空间分布与空间特征向量的分布特 征空间分布特征是相似的，但是回归系数可以看出相应的变化的数量大小.如 图 A.16(d)。空间模态应该与主成分配合进行分析。二者符号是相对应的。分析中保留的模态的数目，没有严格规定，还取决于分析目的。一般取满 足North准则；或者有明确物理意义。数据性质与预处理误差(2) 资料的处理。原始场，距平场，与标准化场例子：我国160站夏季降水量的EOF分析(图A.1
13、7)(3) 空间样本点。大范围的空间数据，特别需要注意资料空间牛表性。非均匀场与均匀分布场；空间抽样；面积加权。北半球1月SLP例子时空转换有时空间样本Z72远大于时间序列长度计算 2 X TH矩阵的特征根很困难，可以 考虑对其进行时空转换。矩阵A = XXf和3 = %用的特征根不同，但是特征向(a) EOF1 90.7%(c) EOF1 13.4%R0.160.140.120.10.08J0.060.040.020.150.10.050-0.05-0.1(b) EOF1 15.8%0.150.10.050-0.05-0.1-0.15-0.2(d) EOF1 11.3%图A.17:我国东部地
14、区夏季降水量EOF分析第一特征向量。（町原始值、（b）距平 值，（c）距平百分率，（d）标准化值.1951 - 2002资料.量是一样的。而可以证明c = x X，和c* = xr X有相同的特征根.但特征向量不 同.因此，通过时空转换可以求XX矩阵的特征根，进而计算XX矩阵的特征向 量.即有c* X V* = V X A是C?的特征向量，A是特征根对角矩阵。根据广是可以求出C的特征向量的, 首先计算匕=X X V*；对乞进行处理得到C的前77个特征向量以#得到特征向量U后，就可以计算相应的主成分PC = VT X X前面计算得到的EOF维数是m x m,而通过时空转换得到的EOF维数只 有m x n.即只能得到前几个特征向量。不过实际应用
