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1、数学探究性学习纪实两角差与角平分线的画法赵红利一、教材分析：（1） 教材所处的地位：本节内容是建立在两角和及其画法的基础上的，又是研究几何图形的另一种重要思想，通过本节课教学更进一步培养了学生数形结合的理解能力，加深了几何图形的数量属性，为培养学生的辩证唯物主义的对立统一思想奠定了基础。（2） 教学目标：在知识方面，使学生理解两角的差的意义；能用量角器或直尺圆规画已知两角的差以及一个角的角平分线；在能力方面，培养学生的观察能力和动手能力，数形结合的辩析能力；在情感方面，使学生通过自己的实践，培养他们自主性、独立性，同学之间互相帮助的思想品质。（3） 教学重难点：根据本节课内容及学生的实际情况，
2、应把两角差以及角平分线的画法作为本节教学的重点，其中角平分线的定义、角的倍分表达形式及平分线的画法是本节教学的难点。二、教学方法的说明：根据本节内容与学生的实际情况，在教学中使用抛锚式教学方法，使用图形演示与引导发现相结合的方法，充分利用多媒体的动态效果，使学生深入理解，自我表现，掌握内容，真正体现教师的主导作用和学生的主体作用相结合的重要意义。三、教学实施过程：1、创设情境，提出问题：问题的提出是教学过程的重要环节之一，使学生在一个完整、真实的问题背景中，产生学习的需要，并通过镶嵌式教学以及学习共同体中成员间的互动、交流，即合作学习，凭借自己的主动学习、生成学习，亲身体验从识别目标到提出和达
3、到目标的全过程，为此我设置以下一个教学情境：出示两块三角板（含有60和45角），通过移动三角板使上述两角的顶点以及一边重叠，给出问题一：另两条边构成的图形是什么？它的大小如何？在激发学生求知欲的同时，展开课堂教学的序幕，使教学走在最前面，又通过问题的提出，培养学生的自我表现观察能力，既识别图形的位置关系，又理解图形的大小关系；从而引出课题。2、交流探索，建构新知：准备工作完成后，接着上新课。由上述所引出，讲述两角差的概念：一个角的度数是另两个角的度数的差，这个角度就是另两个角度的差。这里，用度数的差，表示这两个角相减后的大小，但通过三角板的移动演示，应强调两个角相减后，得到的仍是一个角，也就是
4、说，几何中所讲的“差”，包括线段差、角的差，它与“和”的概念一样，既有“数”的意义，又有“形”的意义。3、 提出问题二：若给出1和2，则12是多少？如何画一个角，使它等于12？通过问题的提出，再次激发学生的求知欲，学生只要通过上述演示的观察和概念的理解，不难看出，用量角器可以度量出1和2的大小，然后根据大小画出一角，使它等于12。此时，教师给出假设，如果只能利用直尺和圆规又如何画？这样更使学生激起兴趣。教师用两块三角板通过演示分析，说清楚画法的基本思路：（1）先有一个角，（2）在这个角上，以原顶点和一边想重合放上一个新角，就出现其中一部分重叠，另一部分不重叠，那不重叠的部分就是所求的角。教师简
5、要讲述画法过程，并在学生熟练地掌握后，马上让学生学以致用，利用师生共同探究的方式，构建出两类基本问题，让学生模仿例题类似练习；（1） 已知两角的度数分别为40、80，求作一角，使它为已知两角的差（2） 已知两角的度数分别为40、60，求作一角，使它为已知两角的差由上述练习引出角的倍、分关系：如果1的度数是2的度数的2倍，我们就说1是2的2倍，或2是1的一半，记作：1=22或者2=1/21；类似定义3倍、4倍等；4、在由上述练习（1）引出问题三：射线OB是AOC的什么？它将AOC分得的两部分有什么关系？从而讲述角平分线的概念，这样利用问题的提出又促使学生引起对掌握知识的欲望，激发求知欲，教师可以
6、借此展开，马上引出概念，从一个角的顶点出发，可以引一条射线，把这个角平分成两个相等的角，我们把这条平分角的射线叫做这个角的角平分线。教学时要突出角平分线的本质属性：射线在角的内部；分成的两个角相等；由上可以得出角平分线的表达方式，而且还可由图中的数量引出第一种画法，利用量角器来画；我简要讲明过程；再对照两角差的画法，又可以假设，利用圆规和直尺如何画已知角的平分线呢？又给出新一个问题，将学生的求知欲望推向高潮；为了使教学有意识地接近生活，此时我演示图示，设计成点的移动，从角的顶点O同时出发在角的两边上移动点，到一定位置后再按一定的方向在角的内部再次移动点，仍要求同时进行，同时结束到P；利用点的移
7、动效果，让学生通过演示思考出其画法；教师再简要讲述角平分线的另一种画法过程，强调注意点：在画法语言中，有两处对画弧的半径作了限制，必须按这个限制规定操作，如果不这样规定，画图中会出现什么情况？用量角器量一下AOP、BOP的度数，检验图形是否符合要求。然后练习：画一个钝角，画出它的角平分线；让学生边画边按画法语言，模仿口述。5、课堂小结：角的和、差、倍、分画法，角平分线的概念和画法都是进一步学习几何知识的需要，对画法操作要熟练，通过学习，要比较两角差和两角和的联系、区别，要比较角的和、差与线段和、差的联系和区别，从而对知识结构和系统有较完整的认识。6、作业布置，巩固提高教学反思：回顾整堂教学，均
8、体现学习在和现实情况基本点相一致或相类似的情境中发生。而在上述情境中选择与当前学习主题密切相关的真实性事件或问题作为学习的中心内容（让学生面临一个需要立即去解决的现实问题），对于中心内容的学习又不是教师直接告之学生应当如何去解决面临的问题，而是由教师向学生提供解决该问题的有关部门线索，并要特别注意发展规律学生的“自主学习”能力。通过讨论、交流、补充、修正，加深每个学生对当前问题的解决。总之，由抛锚式教学要求学生解决面临的现实问题，学习过程就是解决问题过程，即由该过程可以直接反映出学生的学习兴趣，因此对这种教学效果的评价往往不需要进行独立与教学过程的专门检测，只需要在学习过程中随时观察并记录学生
9、表现即可。数学研究性学习教学纪实-全等三角形的条件48n临海市外国语学校-信爱勤勇曹思全等三角形的条件是新人教版数学八年级（上）中第十三章全等三角形的第二节内容，教材中共有 8 个探究，常规的教材处理是分 4 课时完成：第 1 课时是“ SSS ”，第 2 课时是“ SAS ”，第 3 课时是“ ASA ”、“ AAS ”，第 4 课时是“ HL ”，教材的这种编排很容易让老师和学生接受，教师教起来也顺手。但是考虑到对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直
10、、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。但是我认为最关键的是让学生理解为什么需要三个条件，如何去选择条件，这样才能让学生知其所以然。同时也有利于培养学生的创新精神和实践能力。所以在课堂设计中我遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇学习目标： 48n临海市外国语学校-信爱勤勇认知与技能目标： 48n临海市外国语学校-信爱勤勇1. 学生在教师引导下，积极主动地经历探索三
11、角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇2. 通过探索三角形全等的条件从而掌握全等三角形的判定公理，并能初步运用其解决实际问题； 48n临海市外国语学校-信爱勤勇3. 经历 “ 猜想 实践验证 结论 ” 的学习过程体现科学发现的一般规律，同时提高几何图形语言、符号语言和文字表达能力。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇思想情感目标： 48n临海市外国语学校-信爱勤勇在自主探索三角形全等的条件的过程中，经历画图、观察、操作、比较、推理、交流等环节，培养探索精神和探索能力，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验，逐步形成正确的数学价值观。 48n
12、临海市外国语学校-信爱勤勇教学重点和难点： 48n临海市外国语学校-信爱勤勇重点：三角形全等的条件。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇难点：三角形全等条件的探索过程。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇学习过程：（片段） 48n临海市外国语学校-信爱勤勇一、 复习过渡，引入新知 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：我们已经学习了全等三角形的概念和性质，请同学们回忆全等三角形有哪些性质？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：（电脑显示）用几何语言如何表示？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生： ABC DEF 48n临海市外
13、国语学校-信爱勤勇 AB=DE ， AC=DF ， BC=EF ， 48n临海市外国语学校-信爱勤勇 A= D ， B= E ， C= F 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：要判定两个三角形全等需要几个条件呢？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生 2 ：（迅速地）需要六个条件，三条边和三个角都对应相等。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：（微笑地肯定）如果三条边和三个角都对应相等，确实能判定两个三角形全等，但是否必须满足六个条件才能判定两个三角形全等呢？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇评价：让学生体会判定全等时，需要六个条件，（即三边、三角分别对应相等）可操作性的价值不大，从而激起学生寻
14、求其他途径的愿望。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇二、 探索结论（猜想 实践验证 结论） 48n临海市外国语学校-信爱勤勇1、 猜想阶段 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：我们已体会到利用定义判定两个三角形全等，比较麻烦，于是我们就想减少条件，也能达到判定全等的目的，那么减少条件有几种情况呢？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：满足一个条件；满足两个条件；满足三个条件；满足四个条件；满足五个条件 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：一个条件肯定不行 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：你能说明理由吗？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：我可以画图说明。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇
15、一条边相等， 一角相等 48n临海市外国语学校-信爱勤勇显然这两个三角形都不全等。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇2 、动手实践及成果展示 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：回答的非常好，而且这位同学也给我们提出了一种验证的好方法，对于不成立的结论，我们可以通过举反例来进行说明。对于几何中一些未知的结论，我们一定要向这位同学一样动手自己画一画，我相信我们也会有所发现，有所发明。现在，请同学们分组讨论一下，要判定两个三角形全等至少需要几个条件？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇三、 小组讨论，合作交流 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：哪一组能说一说？ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：我们组认为起码要三个条件。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：（迅速站起来）我觉得需要四个条件。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：我看两个条件就够了。 48n临海市外国语学校-信爱勤勇生：（反驳）两个条件不够！ 48n临海市外国语学校-信爱勤勇师：为什么两个条件不够？你能说说
