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1、普通高中2020届高三质量监测（一）数学试题卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 集合，所以.故选B.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 设为
2、虚数单位，则（ ）A. B. C. 2 D. -2【答案】D【解析】. 故选D.3. 已知圆的圆心坐标为，则（ ）A. 8 B. 16 C. 12 D. 13【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】由题意知，有， 所以当时前项和取最小值. 故选C.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差
3、、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A. 92，94 B. 92，86 C. 99，86 D. 95，91【答案】B【解析】 由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】终边落在轴上的角的取值集合为.故选C.7. 右图是某学校某年级的三个班在一
4、学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升其中正确结论的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出均正确.故选D.8. 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）
5、A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，且四棱锥的体积为，则等于（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为 ，从而球的半径 .故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2020项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2020项和C. 求首项为1，公差为4的等差数
6、列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】 由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，从而
7、，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，则函数在区间上所有零点之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , 作图如下： ，四个交点分别关于 对称，所以零点之和为 ，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，
8、则与的夹角为_【答案】 【解析】，所以夹角为.14. 函数的单调增区间是_【答案】 【解析】由题意可知，有或，从而该函数的单调递增区间为.15. 已知点位于轴、三条直线所围成的封闭区域内（包含边界），则的最大值为_【答案】3【解析】根据可行域，取最大值的最优解为，所以的最大值为3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，则面积为_【答案】【解析】由
9、题意可知，得，由余弦定理，得，从而面积为.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答 17. 已知数列的前项和为，（）求等差数列的通项公式；（）求【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据等差数列前n项和公式及通项公式，结合条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组得，再代入通项公式（2）先求，再根据，利用裂项相消法求和试题解析：(1) 由题可知，从而有. (2) 由(1)知，从而 .点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法
10、适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量节数61812（）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数（）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3
11、000，则不需要剪辑，现从（）中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率【答案】（1）选出的6节课中有2节点击量超过3000.（2） 【解析】试题分析：（1）根据分层抽样，点击量超过3000得节数为 （2）利用枚举法确定6节课中任意取出2节课所有可能为12种，其中剪辑时间为40分钟有5种，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （2）在（）中选出的6节课中，设点击量在区间内的一节课为，点击量在区间内的三节课为，点击量超过3000的两节课为.从中选出两节课的方式有，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有，
12、共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点（）证明：平面；（）设，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）连接交于点，则由三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得（2）利用等体积法将所求体积转化为，再根据锥体体积公式求，代入即得试题解析：解：（1）连接交于点，连接. 在中， （2）.20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点（）求椭圆的方程；（）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，求直线的斜率的值【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得，再根据勾股数求，（2）得从而，再联立直线方程与椭圆方程，利
13、用韦达定理得及，代入可解得.试题解析：(1) 由椭圆定义，有，从而 . (2) 设直线，有，整理得，设，有，由已知.21. 已知函数（）若函数的图像与直线相切，求的值；（）若恒成立，求整数的最大值 【答案】（1）1（2）2【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，即得，再由，解得.（2）先分离：，再利用结论，可得，所以 ，即得整数的最大值为2.试题解析：（1）由题意可知，和相切，则，即，解得. （2）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证. 由题意，当时，即时，成立.当时，存在使，即不恒成立. 因此整数的最大值为2.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正
14、半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径（）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（）设直线与圆相交于两点，求【答案】（1） （2）7【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：（）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为 . （）把代入，得，设点对应的参数分别为，则,23. 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为（）求集合；（）若，求证：【答案】（1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明.
