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1、17、（2013牡丹江）如图，在ABC中A=60，BMAC于点M，CNAB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：PM=PN；PMN为等边三角形；当ABC=45时，BN=PC其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线3718684分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；先证明ABMACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM=ACN=30，再根据三角形的内角和定理求出BCN+CBM=60，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
2、BPN+CPM=120，从而得到MPN=60，又由得PM=PN，根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形可判断正确；当ABC=45时，BCN=45，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断正确解答：解：BMAC于点M，CNAB于点N，P为BC边的中点，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正确；在ABM与ACN中，A=A，AMB=ANC=90，ABMACN，正确；A=60，BMAC于点M，CNAB于点N，ABM=ACN=30，在ABC中，BCN+CBM18060302=60，点P是BC的中点，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=
3、2（BCN+CBM）=260=120，MPN=60，PMN是等边三角形，正确；当ABC=45时，CNAB于点N，BNC=90，BCN=45，BN=CN，P为BC边的中点，PNBC，BPN为等腰直角三角形BN=PB=PC，正确故选D点评：本题主要考查了直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键39、（2013成都市）如图，点在线段AC上，点D,E在AC同侧，AD=BC.（1）求证：AC=AD+CE;（2）若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作，交直线BE
4、于点Q.i)若点P与A,B两点不重合，求的值；ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答 ）。解析：（1）证明：A=C=90DBBE有ADB+ABD=90以及ABD+EBC=90ADB=EBC 又AD=BCRtADBRtEBC AB=ECAC=AB+BC=EC+AD（2） ）连结DQ, DPQ=DBQ=90, D,PB,Q四点共圆.且DQ为该圆直径，那么就有DQP=DBPRtDPQRtDAB)P到AC中点时，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5 由. 又 即为中点运动轨迹。41、（2013徐州）如图，在RtABC中，C=90，
5、翻折C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若CEF与ABC相似当AC=BC=2时，AD的长为；当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5；（2）当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似吗？请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）分析：（1）若CEF与ABC相似当AC=BC=2时，ABC为等腰直角三角形；当AC=3，BC=4时，分两种情况：（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EFAB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示由相似三角形角之间的关系，可以推出A=ECD与B=FCD，从而得到CD
6、=AD=BD，即D点为AB的中点；（2）当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似可以推出CFE=A，C=C，从而可以证明两个三角形相似解答：解：（1）若CEF与ABC相似当AC=BC=2时，ABC为等腰直角三角形，如答图1所示此时D为AB边中点，AD=AC=当AC=3，BC=4时，有两种情况：（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示CE：CF=AC：BC，EFBC由折叠性质可知，CDEF，CDAB，即此时CD为AB边上的高在RtABC中，AC=3，BC=4，BC=5，cosA=AD=ACcosA=3=1.8；（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示CEFCAB，CEF=B由折叠性质可知，CE
7、F+ECD=90，又A+B=90，A=ECD，AD=CD同理可得：B=FCD，CD=BD，此时AD=AB=5=2.5综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5（2）当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点QCD是RtABC的中线，CD=DB=AB，DCB=B由折叠性质可知，CQF=DQF=90，DCB+CFE=90，B+A=90，CFE=A，又C=C，CEFCBA点评：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质第（1）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意46、（2013苏州）如图，点P是菱形AB
8、CD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G（1）求证：APBAPD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y求y与x的函数关系式；当x=6时，求线段FG的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质3718684分析：（1）根据菱形的性质得出DAP=PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出APBAPD；（2）首先证明DFPBEP，进而得出=，=，进而得出=，即=，即可得出答案；根据中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出=，求出即可解答：（1）证明：点P是菱形ABC
9、D对角线AC上的一点，DAP=PAB，AD=AB，在APB和APD中，APBAPD（SAS）；（2）解：APBAPD，DP=PB，ADP=ABP，在DFP和BEP中，DFPBEP（ASA），PF=PE，DF=BE，GDAB，=，DF：FA=1：2，=，=，=，=，即=，y=x；当x=6时，y=6=4，PF=PE=4，DP=PB=6，=，=，解得：FG=5，故线段FG的长为5点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据平行关系得出=，=是解题关键47、（2013衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，
10、以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：（1）利用SAS可证明BAMCAN，继而得出结论；（2）也可以通过证明BAMCAN，得出结论，和（1）的思路完全一样（3）首先
11、得出BAC=MAN，从而判定ABCAMN，得到=，根据BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，得到BAM=CAN，从而判定BAMCAN，得出结论解答：（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解：结论ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MA
12、N，ABCAMN，=，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论48、（2013绍兴）在ABC中，CAB=90，ADBC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上（1）如图1，AC：AB=1：2，EFCB，求证：EF=CD（2）如图2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质3718684分析：（1）根据同角的余角相等得出CAD=
13、B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明ACDBEF，即可得出EF=CD；（2）作EHAD于H，EQBC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出QEH=90，则FEQ=GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明EFQEGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值解答：（1）证明：如图1，在ABC中，CAB=90，ADBC于点D，CAD=B=90ACBAC：AB=1：2，AB=2AC，点E为AB的中点，AB=2BE，AC=BE在ACD与BEF中，ACDBEF，CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EHAD于H，EQBC于Q，EHAD，EQBC，ADBC，四边形EQDH是矩形，QE
