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1、第二章 逻辑代数与硬件描述语言基础第三讲 教学要求： 掌握逻辑代数的基本逻辑运算及逻辑运算的描述方法；逻辑函数的表示方法；基本公式、基本定律和常用公式；用公式法化简逻辑函数。 教学要求： 掌握逻辑函数的几种表示方法； 掌握逻辑代数的基本公式； 理解逻辑代数的基本定律； 掌握用公式法化简逻辑函数的方法。教学难点： 编码的概念、逻辑函数的变换与化简。前一章我们学习了门电路。对于一个数字系统或数字电路来讲，有了这些门电路就相当于一个建筑工程有了所需的砖瓦和预制件。从现在起，我们就可以用门电路来搭接一个具有某一功能的数字电路了。正像建一座高楼，不仅需要砖瓦和预制件等建筑材料，还需要有效的工具和合理的工
2、艺一样，数字电路的分析与设计也需要一定的数学工具和一套有效的方法。本章首先介绍分析和设计数字电路时常用的数学工具-逻辑代数和卡诺图，包括逻辑代数的基本公式和基本定律，逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。然后介绍组合逻辑电路的分析方法与设计方法。另外，按其结构和工作原理不同，数字电路可分为两大类，组合逻辑电路和时序逻辑电路。第三、四章介绍组合逻辑电路，第五、六章介绍时序逻辑电路，请大家在学习过程中体会两者的区别及特点。一逻辑代数的基本公式包括9个定律，其中有的定律与普通代数相似，有的定律与普通代数不同，使用时切勿混淆。表2.1.1 逻辑代数的基本公式名称公式1公式201律互补律重叠律交换律结合律
3、分配律反演律吸收律对合律表中略为复杂的公式可用其他更简单的公式来证明。例2.1.1 证明吸收律证： 表中的公式还可以用真值表来证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。例2.1.2 用真值表证明反演律和证：分别列出两公式等号两边函数的真值表即可得证，见表2.1.2和表2.1.3表2.1.2 证明A B0 00 11 01 111101110表2.1.3 证明A B0 00 11 01 110001000反演律又称摩根定律，是非常重要又非常有用的公式，它经常用于逻辑函数的变换，以下是它的两个变形公式，也是常用的。 二 逻辑代数的基本规则代入规则 代入规则的基本内容是：对于任何一个逻辑等式，以某个
4、逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 利用代入规则可以方便地扩展公式。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立： 对偶规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ， 0 1，1 0所得新函数表达式叫做L的对偶式，用表示。 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。利用对偶规则可以帮助我们减少公式的记忆量。例如，表2.1.1中的公式l和公式2就互为对偶，只需记住一边的公式就可以了。因为利用对偶规则，不难得出另一边的公式。 反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ， ； 0 1，1 0 ； 原变量 反变量， 反变量 原
5、变量。所得新函数表达式叫做L的反函数，用表示。 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 例2.1.3 求函数的反函数。解： 例2.1.4 求函数的反函数。解： 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1） 保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例2.1.3。（2） 变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例2.1.4。 三 逻辑函数的代数化简法1逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。常见的逻辑式主要有5种形式，例如： 与或表达式 或与表达式 与非与非表达式 或非或非表达式 与或非表达式在上述多种表达式中，与或表达式是逻辑
6、函数的最基本表达形式。因此，在化简逻辑函数时，通常是将逻辑式化简成最简与或表达式，然后再根据需要转换成其他形式。 2最简与或表达式的标准 （1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“ ”号最少。 3用代数法化简逻辑函数用代数法化简逻辑函数，就是直接利用逻辑代数的基本公式和基本规则进行化简。代数法化简没有固定的步骤，常用的化简方法有以下几种。（1） 并项法。运用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。如 （2） 吸收法。运用吸收律消去多余的与项。如（3）消去法。运用吸收律消去多余的因子。如 （4）配项法。先通过乘以（=1）或加上（=0），增加必要的乘积项，再
7、用以上方法化简。如 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。下面再举几个例子。 例2.1.5 化简逻辑函数 解： 例2.1.6 化简逻辑函数 解：（利用） （利用） （利用） 例2.1.7 化简逻辑函数 解：（利用反演律） （利用） （利用） （配项法） （利用） （利用）例2.1.8 化简逻辑函数 解法1：（增加冗余项） （消去1个冗余项） （再消去1个冗余项） 解法2：（增加冗余项） （消去1个冗余项） （再消去1个冗余项） 由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定
8、的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。3.2 逻辑函数的卡诺图化简法本节介绍一种比代数法更简便、直观的化简逻辑函数的方法。它是一种图形法，是由美国工程师卡诺（Karnaugh）发明的，所以称为卡诺图化简法。一最小项的定义与性质 1最小项的定义 在n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。其中每个变量在该乘积项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，但只能出现一次。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。如三变量逻辑函数L=f（A,B,C）的最小项共有23=8个，列入表中。表2.2.1 三变量逻辑函数的最小项及编号最小项变量取值编号A B C0 0 00 0 10 1
9、 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1m0m1m2m3m4m5m6m7 2最小项的基本性质以三变量为例说明最小项的性质，列出三变量全部最小项的真值表如表2.2.2所示。表2.2.2 三变量全部最小项的真值表变量 m0m1m2m3m4m5m6m7A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000101000001001000010001000100001001000001010000001 从表2.2.2 中可以看出最小项具有以下几个性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变
10、量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 二 逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。 例2.2.1 将逻辑函数L（A,B,C）转换成最小项表达式 解： 该函数为三变量函数，而表达式中每项只含有两个变量，不是最小项。要变为最小项，就应补齐缺少的变量，办法为将各项乘以1，如AB项乘以。L（A,B,C） =m7+m6+m3+m1为了简化，也可用最小项下标编号来表示最小项，故上式也可写为L（A,B,C）=m（
11、1,3,6,7）要把非“与或表达式”的逻辑函数变换成最小项表达式，应先将其变成“与或表达式”再转换。式中有很长的非号时，先把非号去掉。 例2.2.2 将逻辑函数F（A,B,C）转换成最小项表达式解：F（A,B,C） =m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）三卡诺图 1相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如 可见，利用相邻项的合并可以进行逻辑函数化简。有没有办法能够更直观地看出各最小项之间的相邻性呢？有。这就是卡诺图。卡诺图是用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。卡诺
