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1、 10:12 5/13/20241/37X.Z.Lin3 插值法与曲线拟合插值法与曲线拟合3.1 实验数据统计处理实验数据统计处理 3.2 插值法插值法Lagrange插值法插值法 3.3 曲线拟合最小二乘法曲线拟合最小二乘法 平行试验数据处理，误差分析。平行试验数据处理，误差分析。根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数据规律，求函数表达式。据规律，求函数表达式。10:12 5/13/20242/37X.Z.Lin3.1 实验数据统计处理实验数据统计处理系统误差系统误差
2、偶然误差偶然误差过失误差过失误差图图6.1 平行试验数据的正态分布图平行试验数据的正态分布图-3 -2 -0 2 3经常性的原因经常性的原因 影响比较恒定影响比较恒定 校正校正 偶然因素偶然因素 正态分布规律正态分布规律统计分析统计分析操作、计算失误操作、计算失误 错误数据错误数据 剔出剔出 3.1.1 误差误差 10:12 5/13/20243/37X.Z.Lin3.1.2 数据的统计分析数据的统计分析 4剔出错误数据剔出错误数据 5用标准形式表示统计处理结果用标准形式表示统计处理结果（1）算术平均值）算术平均值（2）标准偏差）标准偏差（3）平均标准偏差）平均标准偏差 返回返回1重算重算值值
3、 法法Q?可疑数可疑数据据?可疑数可疑数据据数据排序（升）：数据排序（升）：x1，x2，xn；最大与最小数据之差；最大与最小数据之差；可疑数据与其最邻近数据之间的差可疑数据与其最邻近数据之间的差求求Q值：值：查查Q值表得出标准值值表得出标准值Q0.90；可疑值判断可疑值判断 QQ0.90 错误数据错误数据 剔出剔出 Q Q0.90 数据合理数据合理 保留保留。10:12 5/13/20244/37X.Z.Lin 函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律数量关系，如宇宙中天体的运行，数
4、量关系，如宇宙中天体的运行，数量关系，如宇宙中天体的运行，数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数
5、的数表仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一局部函数是通过实验或观测得到的形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一局部函数是通过实验或观测得到的形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一局部函数是通过实验或观测得到的形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一局部函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点一些数据，这些数据只是某些离散点一些数据，这些数据只是某些离散点一些数据，这些数据只是某些离散点 xi xi 上的值包括函数值上的值包括函数值上的值包括函数值上的值包括函数值f(xi)f(xi
6、)，导数值，导数值，导数值，导数值 f f (xi)(xi)等等等等,i=,i=1,2,n)1,2,n)，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望于分析研究
7、这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。3.2 插值法插值法 Interpolation 3.2.1 概述概述 10:12 5/13/20245/37X.Z.Lin 另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分
8、析，同样希望构造一个其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。替原来的函数。替原来的函数。替原来的函数。如在积分如在积分如在积分如在积分 中，当中，当中，当中，当f f(x x)很复杂，要很复杂，要很复杂，要很复杂，要计算积分计算积分计算积分计算积分 I I 是很困难的，构造近似函数使积分容易计是很困难的
9、，构造近似函数使积分容易计是很困难的，构造近似函数使积分容易计是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分算，并且使之离散化能上机计算求出积分算，并且使之离散化能上机计算求出积分算，并且使之离散化能上机计算求出积分I I，都要用到，都要用到，都要用到，都要用到插值逼近。插值逼近。插值逼近。插值逼近。10:12 5/13/20246/37X.Z.Lin 解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点点点点(x xi i,f f(x xi
10、i)()(i i=1,2,=1,2,n n)，选定一个便于计算的函数形，选定一个便于计算的函数形，选定一个便于计算的函数形，选定一个便于计算的函数形式式式式 (x x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求等，要求等，要求等，要求 (x x)通过点通过点通过点通过点 (x xi i)=)=f f(x xi i)()(i i=1,2,=1,2,n n),),由此确定由此确定由此确定由此确定函数函数函数函数 (x x)作为作为作为作为f f(x x)的近似。这就
11、是的近似。这就是的近似。这就是的近似。这就是插值法插值法插值法插值法。这里的这里的 g(x)称称为为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是的插值函数。最常用的插值函数是?另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过样另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过样另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过样另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方
12、法称为曲线数据拟合法，将在下一节介绍。称为曲线数据拟合法，将在下一节介绍。称为曲线数据拟合法，将在下一节介绍。称为曲线数据拟合法，将在下一节介绍。x1x2x3x4x5xg(x)f(x)多项式多项式f(x)10:12 5/13/20247/37X.Z.Lin ：一系列离散的互不相同的点：一系列离散的互不相同的点xi，yii=1，2，n 求：给定点求：给定点 x 对应的函数值对应的函数值 y 或近似函数表达式。或近似函数表达式。思路思路问题问题构造函数构造函数 y=p(x)要求：要求：插值函数插值函数代数多项式代数多项式：算法算法拉格朗日拉格朗日Lagrange法法 两点插值线性插值两点插值线性插
13、值 一元三点插值抛物线插值一元三点插值抛物线插值 一元多点插值插值公式的一般形式一元多点插值插值公式的一般形式 分段插值分段插值 点满足该函数点满足该函数其他：牛顿其他：牛顿Newton插值法、插值法、Hermite插值法、插值法、样条函数插值法等。样条函数插值法等。归纳一下：归纳一下：10:12 5/13/20248/37X.Z.Lin3.2.2 线性插值线性插值 y=p(x)y=f(x)(x1,y1)(x2,y2)图图6.2 线性插值示意图线性插值示意图yx：两点：两点(x1,y1、(x2,y2 求：两点间任意求：两点间任意 x 对应的对应的 y 值。值。插值函数：插值函数：y=p1(x)
14、近似直线近似直线实际曲线实际曲线理论函数：理论函数：y=f(x)直线方程：直线方程：（变形）（变形）插值基函数插值基函数 插值多项式插值多项式 A1(x)A2(x)特点：特点：A1(x1)=1，A1(x2)=0A2(x1)=0，A2(x2)=1 10:12 5/13/20249/37X.Z.Lin3.2.3 抛物线插值抛物线插值：三点：三点x1，y1、x2，y2、x3，y3 求：其间任意求：其间任意 x 对应的对应的 y 值值y=f(x)y=p2(x)(x1,y1)(x3,y3)图图6.3 抛物线插值示意图抛物线插值示意图yx(x2,y2)插值函数：插值函数：y=p2(x)近似抛物线近似抛物线
15、实际曲线实际曲线理论函数：理论函数：y=f(x)插值基函数：插值基函数：插值多项式插值多项式 10:12 5/13/202410/37X.Z.Lin3.2.4 Lagrange插值的一般形式插值的一般形式：n点点x1，y1、x2，y2xn，yn 求：其间任意求：其间任意 x 对应的对应的 y 值值1构造插值基函数构造插值基函数 2插值多项式插值多项式 10:12 5/13/202411/37X.Z.Lin3.2.5 分段插值分段抛物线插值分段插值分段抛物线插值 各区段函数规律明显不同各区段函数规律明显不同 适用条件适用条件处理方法处理方法插值公式插值公式 分段基点分段基点 分段分段 插值基函数
16、插值基函数 10:12 5/13/202412/37X.Z.Lin3.3 曲线拟合曲线拟合插值法的缺乏插值法的缺乏 解决办法解决办法曲线拟合曲线拟合对逼近函数对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，不必要求过给定的点，而用一条近似的曲线来接近这些测量数据点。而用一条近似的曲线来接近这些测量数据点。基本思想基本思想问题：问题：问题：问题：在大量的实验数据在大量的实验数据(xi,yi)(i=1,2,n)中寻找其函数关系中寻找其函数关系y=f(x)的近似函数的近似函数P(x)，是在实践中常遇到的。，是在实践中常遇到的。（1 1）插值方法要求在给定的节点处）插值方法要求在给定的节点处P P(x x)与与f f(x x)相等（甚至导数值相相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由RungeRunge现象现象知道，有时效果会很差。知道，有时效果会很差。（2 2）另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至）另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，此时要求近似函数是较大的误
