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1、山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）等差数列与等比数列编写人：朱强基 考纲要求1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。重点、难点归纳1数列的有关概念数列：按照一定的次序排列的一列数。通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。2数列的表示法列举法：如a1，a2，a3，an，图象法：用孤立的点(n，an)来表示解析法：即用通项公式来表示递推法：一个数列的各项可由它的前m项的值以及与它相邻的
2、m项之间的关系来表示3数列的分类有穷数列与无穷数列有界数列与无界数列常数列、递增数列、递减数列、摆动数列4an与Sn的关系Sna1a2a3an；anS1(n1时)，anSnSn1(n2时)。5等差数列与等比数列概念比较等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫做等差数列，其中的常数叫做等差数列的公差，用字母d表示。如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，则这个数列就叫做等比数列，其中的常数叫做等比数列的公比，用字母q表示。通项等差数列：ana1(n1)d。anam(nm)d等比数列：ana1qn1。anamqnm。中项如果
3、a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，并且。如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且。前n项和公式等差数列an前n项的和为。.设数列是等差数列，其奇数项之和为、偶数项之和为，那么，当项数为偶数2n时，；当项数为奇数2n1时，.在等差数列中,有关Sn 的最值问题：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。.等比数列an前n项的和为Snna1，(q1时)；Sn，(q1时)。6等差数列与等比数列的常用性质比较等差数列等比数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和；与首末两
4、项等距离的两项之积等于首末两项之积对于等差数列an，若pqmn，则apaqaman。对于等比数列an，若pqmn，则apaqaman。项数成等差数列的等差数列的项仍然是等差数列；项数成等差数列的等比数列的项仍然是等比数列；和S2n1(2n1)an；积T2n-1=an2n-1m个等差数列，它们的各对应项之和组成一个新的等差数列；m个等比数列，它们的各对应项之积组成一个新的等比数列；若对等差数列按连续m项进行分组，则每组中m项的和所组成的数列是等差数列。若对等比数列按连续m项进行分组，则每组中m项的和所组成的数列是等比数列。（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即 为等比数列且
5、 （i=1,2,n,） ( 且 )为等差数列；若定义 ，则 亦为等差数列.（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a0且a1，则 为等差数列 为等比数列.（3） 既是等差数列，又是等比数列 是非零常数列.学法探秘1对数列的理解用函数的观点理解数列数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。数列问题本质上就是函数问题，所以要学会用函数观点看数列问题。a.对于等差数列，an=a1+（n1）d=dn+（a1d），当d0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函
6、数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、qR）.当p=0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.b.对于等比数列：an=a1qn1.可用指数函数的性质来理解.当a10，q1或a10，0q1时，等比数列是递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.注意数列与集合的区别与联系数列与集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序而且可以重复出现。数列的通项公式数列的通项公式可以代表数列中的
7、任何一项，但并不是每一个数列均有通项公式。反之，当一个数列有通项公式时，其通项公式并不唯一。2等差数列与等比数列的判定方法为等差数列an1and(d为常数)2an1anan2(nN)anknb(k、b为常数)SnAn2Bn(A、B为常数)a为等比数列q(q为非零常数)an12anan2(nN)anpqn(p、q为非零常数)Snmqnm(m、q为非零常数)3灵活运用定义、注意对称设元、尽量设而不求、并记住一些有用的结论，这样有助于提高解题速度。如等差数列中有anam(nm)d，等比数列中有anamqnm；又如已知三数成等差数列时，可设这三个数为ad、a、ad，若已知四个数成等比数列时，可设这四个
8、数为、aq、aq3；（四个数同号）。再比如在等差数列中，若apq，aqp，则apq0；若Smn，Snm，则Smn(mn)等等。4重点掌握方程思想在求解“知三求二”的问题时，要恰当选用公式、积极减少运算量，在解题时要有目标意识：需要什么，就求什么，以便达到快速准确的求解目的。在分析和解决有关数列的综合题时要注意运用数学思想方法，对等比数列的求和应注意对公比是否等于1进行分类讨论。典型例析例1完成下列各题(1)已知四个数9、a1、a2、1成等差数列；五个数9、b1、b2、b3、1成等比数列。则b2(a2a1)等于A.8 B.8 C. D.(2)在等比数列an中，已知对于任意的自然数n，都有a1a2
9、a3an2n1，则a12a22a32an2等于A.4n1 B.(4n1) C.(2n1)2 D.(2n1)2分析：(1)要求b2(a2a1)的值，由于a2a1与b2没有必然的联系，因此应在两个数列中分别求a2a1和b2。显然，a2a1是等差数列的公差，b2是等比数列的中项，从而本题为等差、等比数列的基本问题。(2)我们知道，若数列an是公比为q的等比数列，那么数列an2是公比为q2的等比数列。因此，要求等比数列an2的前n项和，关键是求首项和公比。因为对于任意自然数n，都有a1a2a3an2n1，所以可取n1、2，求出a1和a2，从而可求出公比q。也可以利用anSnSn1先求出an，便可观察出
10、首项和公比。解：(1)由193(a2a1)得a2a1。再由b22b1b3(9)(1)得b23。因为等比数列的奇数项同号，所以b23。故b2(a2a1)8，从而选A。(2)方法一：在a1a2a3an2n1中分别取n1、2，得a11,a1a23，所以a11,a22，于是等比数列an的公比为q2。又an2是首项为a121，公比为q24的等比数列。所以a12a22a32an2(4n1)，故选B。方法二：因为a(a1a2a3an1an)(a1a2a3an1)(2n1)(2n11)2n1。所以a11，q2。以下同方法一，略。例2已知an为等差数列，公差d0，an中的部分项所组成的数列，恰为等比数列，其中k
11、11，k25，k317。(1)求kn；(2)求证：k1k2k3kn3nn1。分析：(1)易知是等比数列中的第n项，于是有a1qn1；另一方面，是等差数列中的第kn项，又有a1(kn1)d。从而得a1qn1a1(kn1)d。在上式中除了kn为所求外，a1、d和q均为待定系数。虽然a1、d和q不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a1与d的关系和q的值。从何入手呢？注意到k11，k25，k317，我们可以利用等比数列的子数列，即a1，a5，a17也成等比数列，据此可以求出d与a1的关系和q的值。(2)要证明k1k2k3kn3nn1，实质上是求数列kn的前n项的和，而这可以由通项kn来确定。解：(1
12、)由题设知，即a1，a5，a17成等比数列，所以a52a1a17，即(a14d)2a1(a116d)。因d0，所以a12d于是公比q3所以qn1a13n1又a1(kn1)da1(kn1) 所以a1(kn1) a13n1因而kn23n11(2)k1k2k3kn(2301)(231)(23n11)2(131323n1)n3nn1说明：在求得d和公比q3后，还有如下更为简捷的解法：因为所以kn1是首项为k112，公比为3的等比数列所以kn1 23n1，即kn23n11。下略。例3已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，数列bn满足b120，b75，且(bn1bn2)logma1(bn2bn)log
13、ma3(bnbn1)logma50。(1)求数列bn的通项公式；(2)设Sn|b1|b2|b3|bn|，求Sn。分析：(1)要求通项bn，关键在于确定数列bn的性质。题设给出了数列bn所满足的关系式，看上去很复杂，但若注意到等式左边各项“系数”之和(bn1bn2)(bn2bn)(bnbn1)0，问题便容易解决。(2)当数列bn的性质确定以后，便容易求得Sn，但要注意bn的正负。解：(1)将logma3logm(a1q2)logma12logmq与logma5logm(a1q4)logma14logmq代入已知等式，整理得2(bn2bn1bn2)logmq0因为q1，所以logmq1于是有bn2bn1bn20，即bnbn22bn1故bn是等差数列。设其公差为d，则由b7b16d可得d。所以bn20(n1) ()n。(2)令bn0，得n9。当n9时，bn0，则Snb1b2bn20n。当n9时，bn9时，S。例4.（2007浙江）已知数列中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且(k 1，2，3，)(I)求及 (n4)(不必证明)；()求数列
