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1、图。解：由 f (x) = x6 + x4 + x2 +1,得反馈函数为 f (x , x , , x ) = x + x + x，故126135(1)逻辑框图:(2)状态图:状态圈-1：状态圈-2：状态圈-4：状态圈-3：状态圈-5：状态圈-6：状态圈-8：状态圈-7：第三章习题参考答案1.画出以f (x) = x 6 + x 4 + x 2 + 1为联接多项式的线性移位寄存器逻辑框图，及其对应的状态状态圈-9：(100000)(010000)(101000)(010100)(000001)(000010)(000101)(001010)(100001)(110000)(111000)(11
2、1100)(000011)(000111)(001111)(011110)状态圈-10：(000110)(100011)(110001)(011000)(001101)(011011)(110110)(101100)(001001)(100100)(110010)(111001)(010011)(100111)(001110)(011100)状态圈-11：状态圈-12：0010110101110101101011010110101101001011110111111111101111012.已知图3-2所示的7级线性反馈移位寄存器:1001011010110100101010011101011
3、11010图3-2r 000000110000000100000(2)状态转移矩阵：001000100010000000101、0000010 (3)输出序列：a = (111111111)。3.设5级线性反馈移位寄存器的联接多项式为f (x) = x5 + x2 +1,初态为(10101)。求输出 序列a。解：由联接多项式得，反馈函数为：f(x, x ,x ) = x + x。故以(10101)为初态的状态转12514移图为：10101 T 01011 T 10111 T 01110 T 11101 T 11011 T 10110 T 01100 T 11000 T 10001T 00011
4、 T 00111 T 01111 T 11111 T 11110 T 11100 T 11001 T 10011 T 00110 T 01101 T 11010 T 10100 T 01001 T 10010 T 00100 T 01000 T 10000 T 00001 T 00010 T 00101 T 01010 T 10101由此可得，输出序列为：a = 1010111011000111110011010010000。一个周期4.证明：n级线性反馈移位寄存器的状态转移变换是n维线性空间Fn上的线性变换。2=(a ,a ,a ),证明：设Tf为n级线性移位寄存器的状态转移变换，对Va,
5、P e F2n,令aP = (b0, %，bn _1)，有：T (a ) = T (a ,a，,a ) = (a ,a，,U c a ),ff 0 1n-11 2i n-ii=1T (P ) = T (b ,b,b ) = (b ,b，,cb )。ff 0 1n-11 2i n-i气(a + p) = T (a + b，a + b ,.,ai=1+b )1n - 1 n - 1=(a + b ,a + b，,c (a + b )1 1 22i n-in-ii=1=(a ,a，,Ec a ) + (b ,b，,c b12i n-i1 2i n-ii=1i=1=T (a) + T (P)ff对 V
6、k e F2,T (ka)= T(ka,ka，ka)= (ka,ka，kEc a) = k(T(a)。ff 01n-112i n-ifi=1故n级线性反馈移位寄存器的状态转移变换是n为线性空间Fn上的线性变换。5 .设二元周期序列a丰0的极小多项式为f (x) , T是f (x)对应的状态转换矩阵，则S ,ST，st p(a)-1必两两不同。其中S = (a0,a2,a 1)。证明：若3 i, j , 0 i丰j p(a) -1,使得STi = ST j (不妨设 i 0。从而t ( v p(a)为序列a的周期，与P(a)为最小周期矛盾。故S，ST，STp(a)-i必两两不同。6.证明：若a
7、g G(f)的极小多项式次数为n( 1)，则a，La，Ln-1 a必线性无关。证明：由题知a丰0，假设a，La，ma线性相关，则存在不全为零一组数,七,七1 使得c a + c La HF c Ln-1 a = 0 = (c + c L dF c Ln-1)a = 00 一 1 n-1一 一 0 1n-1 一令：(x) = c + c x + c xn-1，则g(x)也产生序列a，而伽g(x) n -1，与a的极小多项 0 1n-1式f (x)的次数为n矛盾，故假设不成立，因此，a，La，Ln-1 a必线性无关。7.证明：若a g G(f)，伽f (x) = n，a牛0，则a，La，Ln-1
8、a构成G(f)的一组基当且仅当a以f (x)为极小多项式。证明：充分性：由初f (x) = n知G(f)是n维的。又a g G(f)，a以f (x)为极小多项式，由上题结论可知a，La，Ln-1 a线性无关，故构成G(f)的一组基。必要性：设a的极小多项式为m (x)，dom任(x) = m，则m (x) I f (x)，m n -1，即m n，故m, (x) = f (x)。即a以f (x)为极小多项式。8.证明：若a g G(f)，伽f (x) = n，a以f (x)为极小多项式，则G(f)中每个序列均可唯 一地表成g(D)a，并且g(D)a的极小多项式为f(?，其中伽g(x) v n，D
9、为延迟变换。(g (x), f (x)从而G (f)中有中(f)个序列以f为极小多项式，其中中(f)是次数伽f，且和f (x)互素的多项式的个数。证明：(i)上题结论知，Vb e G(f)，都可由a，La，-, Ln-ia为线性表出，则存在一组b = c a + c La dF c Ln-i a = 0 = (c + c L dF c Ln-i )a一 0 一 i 一n-i一 一 0 in-i-令：(x) = c + c x + c x2 + F c xn-i，则有 b = g(L)a o b = g (D)a，即 Vb e G(f)均可- 一n-i 唯一的表示成g(D)a的形式。(2)令：(
10、f (x), g(x) = d(x)则 f (x) = d(x)fi(x)，g(x) = d(x)gi(x)，(fi(x), gi(x) = 1。设g (D )a的极小多项式为匕，则只须证明f (x) = f (x) =f(x)2 i(f (x), g (x)f (D)(g (D)a) = f (D)d(D)g (D)ai ii =f (D) gi( D)a = gi( D) f (D)a = 0fi为g(D)a的联接多项式，从而f2(x)|fi(x)。又，由 f (D)(g (D)a = f (D)d(D)g (D)a = 0 知，f (x) l f (x)d(x)g (x)，从而2一 2i
11、 一 一2if (x)l f (x) g (x)，i2 i而(f (x), g (x) = i，故 f (x)l f (x)，所以 f (x) = f (x)，即iii22if ( x)为g(D) a的极小多 (f (x), g ( x)-项式。(3)当(g(x), f (x) = i时，g(D)a以f (x)为极小多项式，而次数 0。因为bk+p(a) = ak +t+p(a) = ak疽 bk，k 0。故 p(b) I p(a)，同理可证p(a) I p(b)，所以 P(b) = p(a)。设a的极小多项式为吐(x)，b的极小多项式为(x)，贝0 ma (L)a = 0，从而m (L)b
12、= m (L)L a = Ltm (L)a = 0 o m (D)b = 0，a aa a 即m (x)是b的联接多项式，于是m (x) I m (x)，同理可证m (x) I m (x)。因此m (x) = m (x)。abaabab(2)不一定。例如，f (x) = x4 + x3 + x2 + x +1是4次不可约多项式，G(f)中非零序列都以 f (x)为的极小多项式，但Gf中有3个周期为5的圈，显然这3个圈对应3个不同的平移等价类。 (或令a = 11000，b = 10111，a，b e G(f)，但a与b不在同一等价类中。)当f (x)是本原多项式时，序列的极小多项式相同当且仅当序列属于同一平移等价类。10.设f (x) = f (x)f (x)，其中 f (x) = 1 + x + x3，f (x) = 1 + x2 e F x。(1)证明以0 1 121221 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1为一个周期段的二元序列属于G(f)。(2)将上述序列分解成两个序列a和b之和，使得 a e G(f1)， b e G(f证明：(1) f (x) = f(x)f2(x) = x
