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1、函数的奇偶性一奇偶性的定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有_那么函数f(x)就叫做_。关于_对称。 （2） 如果对于函数_内的任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做_。关于_对称。 （3） 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有_和_，(xr,且r关于原点对称.)那么函数f(x)_。 （4） 如果对于函数定义域内的存在一个a，_，存在一个b，_，那么函数f(x)_。 说明：奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。 奇、偶函数的定义域一定关于_对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有_。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义
2、域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为_。并且关于原点对称。 / 二奇偶函数图像的特征奇函数的图像关于原点成_，偶函数的图像关于_。 f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称点（x,y）_ f(x)为偶函数f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）_ 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是_。偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调_。 三证明方法（1）定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相
3、同 （2）图像法：f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）（-x,-y） f(x)为偶函数f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）（-x,y） （3）特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。 （4）性质法 利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数。 四性质1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域
4、内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。 2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 3、奇奇=奇 、偶偶=偶 、奇X奇=偶 、偶X偶=偶 、奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称） 4、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称新课标函数奇偶性练习习题一、选择题1已知函数f（x）ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）ax3bx2cx（）A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数2已知函数f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则（）A，b0Ba1，b0 Ca1，b0Da3，b03已知f（x）是定义在R上的奇
5、函数，当x0时，f（x）x22x，则f（x）在R上的表达式是（）Ayx（x2） By x（x1） Cy x（x2）Dyx（x2）4已知f（x）x5ax3bx8，且f（2）10，那么f（2）等于（）A26B18C10D105函数是（）A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数6若，g（x）都是奇函数，在（0，）上有最大值5，则f（x）在（，0）上有（）A最小值5B最大值5C最小值1D最大值3二、填空题7函数的奇偶性为_（填奇函数或偶函数）8若y（m1）x22mx3是偶函数，则m_9已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_10已知函数f（x）为偶函数，且其图象与
6、x轴有四个交点，则方程f（x）0的所有实根之和为_三、解答题11设定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，若f（1m）f（m），求实数m的取值范围12已知函数f（x）满足f（xy）f（xy）2f（x）f（y）（xR，yR），且f（0）0，试证f（x）是偶函数13.已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）x32x21，求f（x）在R上的表达式14.f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在5，）上单调递减，试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明15.设函数yf（x）（xR且x0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1x2）f（x1）f（x2），求证f（x）
7、是偶函数函数的单调性（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当_时，都有_，那么就说f(x)在区间D上是_.区间D称为y=f(x)的_.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当_时，都有_，那么就说f(x)在这个区间上是_.区间D称为y=f(x)的_.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)
8、 定义法： 任取x1，x2D，且_； 作差_； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 函数的单调性练习题一、选择题1. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ).A B C D 2函数 的增区间是（ ）。A B C D 3 在 上是减函数，则a的取值范围是（ ）。
9、A B C D 4当 时，函数 的值有正也有负，则实数a的取值范围是（ ）A B C D 5.若函数在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数 在区间（a，c）上（ ）（A）必是增函数（B）必是减函数（C）是增函数或是减函数（D）无法确定增减性6.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则 ，的大小关系是 （ ）A B C D 7.已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是A（，） B（，） C（，） D8.已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0,则a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(2，3)9.
10、若是上的减函数，那么的取值范围是（ ）A. B. C.D.10.已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，则a的取值范围是()A(0,3) B(1,3) C(0， D(，3)二、填空题1函数 ,当 时,是增函数,当 时是减函数,则f(1)=_2已知 在定义域内是减函数，且 ，在其定义域内判断下列函数的单调性： （ 为常数）是_； （ 为常数）是_； 是_； 是_3.函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a的取值范围是_ 三、解答题1求函数 的单调递减区间.2.证明函数在上是增函数3.讨论函数在(-2,2)内的单调性。4.定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围
11、。5设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的x的取值范围.6.已知f(x)的定义域为（0，），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（2）1，试解不等式f（x）f（x2）3.7.函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.函数的对称性与周期性一 函数的对称性（一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身.关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。2、二次函数的图象关于直线 对称。3、三角函数的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ； 的图象的对称轴是 ，对称中心是 。4、函数若对于定义域内任意一个都有，则其图象关于直线 对称。（二）函数图象的互对称 所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。2、函数与函数的图象关于直线 对称。二 函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒
