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1、1利用Excel2000进行主成分分析第一步，录入数据，并对进行标准化。【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度和宽度。ABCDE1样本编号长度壯宽度出州标准化/肥标准化好2132-1. 786045-1.80607732410-1.559389-0.1414904365T. 106078-L 1818575468-k 106078-0. 55763765610T. 106078-0.1414907672-0.879423-1.80607787713-0.8794230. 4827309889-0.652768-0. 34956310995-0.426112-1.18185711109
2、8-0.426112-0. 5576371211914-0. 4261120. 6908041312107-0.199457-0. 7657101413111260271990. 274657151412100. 253854-0.141490161512110. 2538540. 06658317161360. 480509-0. 973784181713140. 4805090. 690804191813150. 4805090. 898877201913170. 4805091.31502421201470. 707165-0. 765710222115130. 9338200. 482
3、73023221713L3871310. 48273024231717L3871311.31502425241819L6137871.731171262520202.0670971.93924427均值10.8810. 680. 000000 0. 00000023力差19, 4656023. 097601 129标准差4. 411984. 8060011图1原始数据和标准化数据及其均值、方差（取自张超、杨秉庚计量地理学基础）计算的详细过程如下：将原始数据绘成散点图（图2）。主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势如果数据之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的 就
4、是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对 数据进行线性转换，否则效果不佳。从图2可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系数R2=0.4979,相应地，相关系数 R=0.7056。对数据进行标准化。标准化的数学公式为*Xij - Xj这里假定按列标准化，式中ijc jn1百XijXij ，n i 二-Var (Xj)分别为第j列数据的均值和标准差，Xij为第i行（即第i个样本）、第j列（即第j个变度 宽原始 数据的 散点图 y = 0.7686X + 2.31742R = 0.4979图2原始数据的散点图图3标准化数据的散点图量）的数据，x*为相应于Xj的标准
5、化数据，n二25为样本数目#对数据标准化的具体步骤如下：求出各列数据的均值，命令为average，语法为:average（起始单元格：终止单元格）。如图1所示，在单元格B27中输入“ =AVERAGE（B1 :B26）”，确定或回车，即得第一列数据的均值x, =10.88 ;然后抓住单元格B27的右下角（光标的十字变细）右拖至 C27，便可自动生成第二列数据的均值X2 二 10.68。 求各列数据的方差。命令为varp，语法同均值。如图1所示，在单元格 B28中输入“ =VARP（B2:B26） ”，确定或回车，可得第一列数据的方差Var （x1） =19.4656，右拖至C28生成第二列数据
6、的方差 Var （x2 ） = 23.0976。 求各列数据的标准差。将方差开方便得标准差。也可利用命令 stdevp直接生成标准 差，语法和操作方法同均值、方差，不赘述。 标准化计算。如图1所示，在单元格 D2中输入“ =（B2-$B$27）/$B$29 ”，回车可得第一列第一个数据“3”的标准化数值-1.786045，然后按住单元格D2的右下角下拖至D26，便会生成第一列数据的全部标准化数值；按照单元格D2的右下角右拖至 E2,就能生成第二列第一个数据“2 ”的标准化数据-1.806077，抓住单元格E2的右下角下拖至E26便会生成第二列数据的全部标准化数值。 作标准化数据的散点图（图3）
7、。可以看出，点列的总体趋势没有变换，两种数据的相关系数与标准化以前完全相同。但回归模型的截距近似为0,即有a0 ,斜率等于相关系数，即有b = R。求标准化数据的相关系数矩阵或协方差矩阵。求相关系数矩阵的方法是：沿着“工具（T）” 一 “数据分析（D） ”的路径打开“分析工具（A ）”选项框（图4）,确定，弹 出“相关系数”对话框（图5）,在“输入区域”的空白栏中输入标准化数据范围，并以 单元格G1为输出区域，具体操作方法类似于回归分析。确定，即会在输出区域给出相关图4分析工具选项框图5相关系数对话框系数矩阵的下三角即对角线部分，由于系对称矩阵，上三角的数值与下三角相等，故未给 出（图6），可
8、以通过“拷贝一一转置一一粘帖”的方式补充空白部分。GHIJKI L.相关系数协力差列1列2列1列2列11列11列20. 7056031列20. 7056031图6 标准化数据的相关系数和协方差求协方差的方法是在“分析工具”选项框中选择“协方差”（图7），弹出“协方差”选项框（图8），具体设置与“相关系数”类似，不赘述。结果见 图6,可以看出， 对于标准化数据而言，协方差矩阵与相关系数矩阵完全一样。因此，二者任取其一即可。图7在分析工具选项框中选择“协方差”图8协方差选项框计算特征根。我们已经得到相关系数矩阵为C =| 0.70560.70561而二阶单位矩阵为0【1于是根据公式det（ I _
9、 C ） = 0，我们有1010.7056九-1-0.7056=0010.70561-0.7056丸-1按照行列式化为代数式的规则可得_ 2 2 _ 2 _（-1）0.7056-2、 0.5021 =0根据一元二次方程的求根公式，当b2 _4ac _ 0时，我们有-b 二 i b - 4 acZ =2a据此解得=1.7056 ,匕= 0.2944 （对于本例，显然= 1 R ,匕=1-只）。这便是相关系数矩阵的两个特征根。求标准正交向量。将代入矩阵方程0.7056-0.7056|-0.70560.7056在系数矩阵I -C中，用第一行加第二行，化为2I o o_0.7056i 0由此得=-2，
10、令：=1，则有S-0.70560I I。=1，于是得基础解系单位化为0.7071=0.7071单位化的公式为(i =1,2 )。完全类似，将2代入矩阵方程（I -C）宇-0，得到1-0.7056|-0.7056用系数矩阵的第二行减去第一行，化为-0.7056-0.7056- 201-0.7056-0.70560 071 IJ o o-于是得到：=7；，取匚=1，则有，因此得基础解系为一1 _ 0.7071 2二，单位化为e2 =卜1|L_ 0.7071这里e e2便是标准正交向量。求对角阵。首先建立标准正交矩阵P，即有0.70710.7071 P =e1 e2 0.7071-0.7071该矩阵
11、的一个特殊性质便是PT =PA，即矩阵的转置等于矩阵的逆。根据D = PTCP ,可知0.70710.707110.70560.70710.70711.705600.7071-0.70710.705610.7071-0.707100.2934下面说明一下利用 Excel进行矩阵乘法运算的方法。矩阵乘法的命令为mmult，语法是mmult （矩阵1的单元格范围，矩阵 2的单元格范围）。例如，用矩阵PT与矩阵C相乘， 首先选择一个输出区域如G1:H2 ,然后输入“ =mmult（A1:B2,C1:D2） ” ，然后按下“ Ctrl+Shift+Enter ”键（图 9）,即可给出1.206044
12、1.2060440.20817 -0.20817再用乘得的结果与 P阵相乘，便得对角矩阵1.705603000.294397如果希望一步到位也不难，选定输出区域如 C3:D4 ，然后输入 “ =mmult（mmult（A1:B2,C1:D2）,E1:F2） ” （图 10），同时按下“ Ctrl+Shift+Enter ”键，立 即得到结果（图11）。显然，对角矩阵对角线的数值恰是相关系数矩阵的特征值。ABCDEFGH10. 7071070. 707107：1.0000000. 705603：0. 7071070.707107=nmult(Al:E2,Cl:D2)20. 707107-0.70
13、7107：0.7055031. 000000；0. 707107-0.707107图9矩阵乘法示例567S9101丄121314MMULTArraylCAI ：B2, Cl D刃J= 1 23604376694426ArrayeEl：F2V| = 0.7071057811365至此，标准化的原始变量x与主成分之间z之间可以表作X2 _0.70560.7056X!就1_X21 .7056 厂00 pj0.2944 役一SW、7 二=miDult (mmult (Al :62, Cl :D2) a El:F2)AII BC DE F16 707107707107L 0000000. 7056030. 707107CL 707107；20. 707107-0. 7071076 7056031.0000000. 707107-0. 707107：3
