《四渐开线与摆线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四渐开线与摆线（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2. 4渐开线与摆线?预习梳理1以基圆圆心 0为原点，直线 0A为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为： （其中r为基圆的半径）.2在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r,可得摆线的参数方程为：?预习思考W为参数），摆线参数方程为x= 8cos 0+ 8 sin 半径为8的圆的渐开线参数方程为y= 8sin8 cos 预习梳理x = r ( cos + 能in ,们(为参数)y= r (sincos x = r ( sin ),2.(为参数)y= r (1 cos )预习思考x = 8 8sinj(为参数
2、)y= 8 8cos 层练习1 关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（）A 只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C 正方形也可以有渐开线D .对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同1. C2半径为1的圆的渐开线的参数方程为（）x= 0sin 0,A. （ 0为参数）y= 1 cos 0x = 1 sin 0,B. （ 0为参数）|y= 0 cos 0x= cos 0+ Osin 0 ,Cj（0为参数）y= sin 0 Qcos 0x= cos 0 Osin 0 ,D/iy= sin 0+ Qcos 02. C3给
3、出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐 开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同 的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点其中正确的说法有（）A.B. C D.3. C4基圆半径为2的渐开线的参数方程是 .x = 2 （cos 0+ 能in 0）,（0为参数）y= 2 （sin 0 cos 0）二昱峑m5.如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线 AEFGH叫作正方形的渐开线”，其中AE, EF
4、, FG , GH ,的圆心依次按 B, C, D, A循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH的长是（）5. C6已知摆线的生成圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程为，其一拱的宽为，拱高为.x = 40 ( sin 心,6.U(0 为参数)80 n mm|y= 40 (1 cos 0)80 mmx= 2cos a,7 .已知参数方程为(a为参数)，则该圆的渐开线参数方程为|y= 2sin a摆线参数方程为.x = 2 (cos 0+ 松in 0),7. j(0为参数)y= 2 ( sin 0 cos 0)x = 2 ( 0 sin 0),1( 0为参数)y= 2 (1 cos 0)x =
5、6 (cos 0+ 0sin 0),8. 渐开线(0为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的|y= 6 (sin 0 cos 0)2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为 .8. (6 3, 0)和(6 3, 0)x= cos 0+ 能in（）,9. 当 片n，n时，求出渐开线（0为参数）上的对应点A, B，并求出A, B间的y= sin 0 cos 0 距离._x= cos 0+ 能in 0,9. 解析：将0= 2代入y= sin 0 gos 0.n I n . n丄得 x = co% + 2sin2 = 1,n n ny= sin? 2c2= 1：Ax= cos 0+ 能in
6、 0,将0= n代入y= sin 0 gos 0,得 x = cos + n sin = 1,y= sin n cos =冗冗. B( 1, n)故A, B间的距离为abi=、( 1 n 2+n+ 1 =款-n+ 2三层练亘10. 已知圆的直径为2,其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A, B对应的参数分别为x= cos 0+ 能in 0,(0y= sin 0 0cos 0A、B的直角坐标.10. 解析：根据题设条件可知圆的半径为 1，所以对应的渐开线的参数方程为为参数）.将0=；代入得n n . n 1 . 2k3x= cos3 + 3sin3= 2+ 6 nn n n 43ny= sin3
7、3cos3= 2 6 A点的坐标为3+ 3n 3 3 n6 ,当0=；时，同理可求得B点的坐标为2, 1 .x = 2 ( sin 0),11.求摆线(0为参数且0w(j)w 2与直线y= 2的交点的直角坐标.y= 2 (1 cos 0)11.解析：当 y= 2 时，有 2(1 cos 0= 2,二 0= 2或 0= Jn当 0= 2时，x= n 2;当0=,x = 3 n+ 2.摆线与直线 y= 2的交点为(2, 2), (3 n+ 2, 2).12. 设圆的半径为 4,沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点 O,记圆上动点为 M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画
8、出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值.x= 4 ( 0 sin 0),12. 解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为(0为参数).y= 4 (1 cos 0)且 0W0W2n.其曲线是摆线的第一拱(02n,)如下图所示：易知，当x= 4n时，y有最大值8.x = 4 0 4sin 0,13. 已知一个圆的摆线方程是(0为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参y= 4 4cos 0数方程.13. 分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积，再代入渐开线的参数 方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程.解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16 n
9、该圆对应的渐开线参数方程是x = 4cos 0+ 4 (sin 札丫(为参数).y= 4sin ( 4(jcos (14. 已知一个圆的摆线过一定点 (2, 0),请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的 渐开线的参数方程.x= r ( ( sin (,14. 分析：根据圆的摆线的参数方程丫(为参数)，只需把点(2, 0)代入参数方程y= r (1 cos (求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可.解析：令y= 0，可得r(1 cos妨=0,由于r0,即得cos (= 1,所以(=2knk Z).1代入 x= r( ( sin 妨，得 x
10、= r(2k n sin 2kn )又因为 x = 2,所以 r(2kn sin 2kn)= 2,即得 r =-.k n1 * 1又由实际可知r 0，所以r= (k N ).易知，当k = 1时，r取最大值为-.k nn代入即可得圆的摆线的参数方程为1x= 1 ( ( sin (,(为参数);ny=(1 cos (n圆的渐开线的参数方程为1x=(cos (+ (sin (),n1y=(sin ( cos ()n专圭归的拭巧点就海点建津1.渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹.圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线 无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.2渐开线上任一点 M的坐标由圆心角
11、0（以弧度为单位）唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角 $唯一确定.3圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义.4. 有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数x= r （ sin $）,方程5（ 0为参数），可求出 0进一步求的r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的y= r （1 cos 0）参数方程.教材习题【习题2.4】1.解析：因为基圆的直径是 225 mm，所以基圆的半径是 112.5 mm,齿廓线AB所在的渐开线的参x= 112.5 (cos 0+ sin 0),数方程为(0是参数)|y=
12、112.5 (sin 0 gos 0),得到A,B两点的坐标分别为3x= cos 0+ 能in 0,2.解析：将0=n，2“分别代入y= sin 0 gos 0由两点间的距离公式得3.解析：设轮子的圆心为 B,以BM的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点，直线轨道为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设圆滚动使点 M绕圆心B转过0角后点M的坐标为（x, y）,则x= OD=OA DA = OA MC = a0 bsin 0, y= DM = AC = AB CB = a bcos 0,所以点 M 的轨迹方程为x = a 0 bsin 0,（0是参数）.y= a bcos 04.解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M的坐标为（x, y）,此时/ BOA = 因为OB= 4CB ,71n n/ MCD = 2 一 3.由于 x = OF = OE + EF = 3rcos + rsin ?
