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1、数学模型实验一实验报告10学院： 专 业：姓 名：学号： 实验时间：实验地点： 、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a. 求解微分方程的解析解b. 求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过 程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课 题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功 的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一(SI模型)：(1) 模型假设1. 在疾病传播期内所考察地区
2、的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所 占比例为s (t)和i (t)。2. 每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其 患病。(2) 建立模型根据假设，每个病人每天可使as (t)个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni (t)，所以每天共有aNs (t)i (t)个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi又因为 s (t) +i (t) =1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为：=ai (1 - i) dti(0)=i0(3) 模型求解(代码、计算结果或输出结果)syms a i t i0% 3：
3、日接触率，i：病人比例，s：健康人比例，i0：病人比例在t=0时的值i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t);y=subs(i,a,i0,);ezplot(y,0,100)figure i=str2double(i);i=0:1;y=*i.*(1-i)；plot(i,y)IlkXisrt Iwlsld4ti Udi吸母縻国忒as 8Q1/(1449 eip(-3/10t)Auxinzuri 1口】三 u,cuci4p iieloov jtLpW FiuuLtfSI模型的it曲线SI模型的di/dti曲线（4）结果分析由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在
4、1=时，取到最大值，即在t-inf时，所有人都将 患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS模型模型二（SIS模型）（1）模型假设假设条件与SI模型相同；3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u，成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的 健康者。显然1/u是平均传染期。（2）模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 i（t）+s（t）=1；则有：di/dt=ai（1-i）-ui在此定义k=a/b，可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。则建立好的模型为：d = aii - （1 -1/ k） dti（0）=i0;（
5、2）模型求解（代码、计算结果或输出结果） syms a i u t i0 % 2：日接触率，i：病人比例，山日治愈率，i0：病人比例在t=0时的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(0)=i0,t)% 求用 u 表示的 it 解析式 syms k% k:接触数 k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(0)=i0,t)% 求用 k 表示的 it 解析式%给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像 y=subs(i,k,a,i0,2,);%&k1 的情况，以 k=2 为例 ezplot(y,0,100)pause%作it图，分析随时间t的增加,
6、i的变化 gtext(1/k)legend(k1 本例中 k=2)figure i=str2double(i); i=0:1; y=*i.*i-1/2; plot(i,y)%作 di/dti 的图像 gtext(1-1/k,在此图中为) legend(k=2) y=subs(i,k,a,i0,); ezplot(y,0,100) legend(kfigure i=str2double(i); i=0:1; y=*i.*i-(1-1/; plot(i,y) legend(k=) gtext(k=1 时的情况)%k1）SIS模型的di/dti曲线 （k1）File dit 四rw Irtsert
7、Paok Dtsktnp Window Help D旨日昌伐四&的割建| 国|目口T%时时。祯#4。LJ：g :一砌file- Edrt Viev Insert TqdIs Deilctap Ufinchw Hdp 了 H 93 Li K Wl 底 口仁口SIS模型的di/dti曲线(k1)SIS模型的it曲线(k1时，i (t)的增减性取决于i0的大小，但其极限值 i(8)=1-1/k随k的增加而增加；当k0)和 i0(i00)(不妨设移出者的初始值r0=0)，则SIR 模型的方程可以写作牛=人应_卬,i(0) = t dt0ds .小、 =人 si, s(0) = s 、dt0(3)(3)
8、模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算:设 * = L 四=0.3, i(0) = 0.02, s(0) = 0.98，用 MATLAB 软件编程:function y=ill (t, x)a=1;b=;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)ts=0:50;x0=,;t,x=ode45(i11,ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)表1i(t), s(t)的数值计算结果i(t)012345678s(t)t91015202530354045i(t)0s(t)ile Eiii Vi
9、w Dntrt lidslinlcfl 世IpD岸H凸店、 X # 巨口lilt tilt 近s tram jwirtop ihdw ItlpD暮吁昏& g QBos0Q5i(t),s(t)的图形i-s图形(相轨线)(4) 结果分析用)，s(t)的图形见左图，i s的图形见右图，称为相轨线，随着t的增加，(s,i)沿轨线自右向左运动。 由上图结合表1可知，汜)由初值增长至约t = 7时达到最大值，然后减少，t - 0; s (t)则单调 减少 18, s -0.0398。进行相轨线分析，可得:S 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（& e D为D = （s,t）1 s 0,i 0,s +
10、 i 1在方程（3）中消去出，并注意到的定义，可得di 1i I = is = S00（4）=1 dt s，容易求出它的解为（5）在定义域D内，上式表示的曲线即为相轨线1. 不论初始条件林，i0如何，病人终将消失，即（6）ds 八dr 八一 0其证明如下，首先，由（3），dt而s（t） 0故七存在；由（2），dt，而r（t） 再由（1），对于充分大的t有dt2，这将导致，与。存在相矛盾。2. 最终未被感染的健康者的比例是七，在（5）式中令i = 0得到，七是方程（7）在（0,1/）内的根。在图形上七是相轨线与s轴在（0J/）内交点的横坐标。3.若s0 17，则i（t）先增加当s =17时，i（
11、t）达到最大值（8）i = s + i (1 + ln s )然后i（t）减小且趋近于0，s（t）则单调减小至七。4.若s0 17 （即 17睨）时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数，即提高阈值17，使得睨 17 （即 ，从（7），（8）式可以看出，减少时，、增加（通过作图分析），七降低，也 控制了蔓延的程度，我们注意到，在C=X / 中，人们的卫生水平越高，日接触率入越小；医疗水平 越高，日治愈率越大，于是越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，席=从1/P是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一 个病人被 s个健康者交换，所以当s - ,即 50 -1时，必有 $ L既然交换数不超过1，病人比 例i（t）绝不会增加，传染病不会蔓延。建模所得：1. 符号变量如何使用2. 如何求微分方程的解析解和数值解3. 对符号变量方程作图时，先将其中的符号变量赋值，再将其变成数值变量，这也是一种有效的解决 方法。
