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1、课时作业(十八)1(20xx辽宁理)设函数f(x)xax2blnx，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.答案(1)a1，b3(2)略解析(1)f(x)12ax.由已知条件得即解得a1，b3.(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23lnx.设g(x)f(x)(2x2)2xx23lnx，则g(x)12x.当0x0；当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.2设函数f(x)a2lnxx2ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立(其中，e为自然对数
2、的底数)答案(1)增区间(0，a)，减区间(a，)(2)ae解析(1)因为f(x)a2lnxx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得，f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要由得ae；由得ae.因此ae.故当e1f(x)e2对x1，e恒成立时，实数a的值为e.3已知函数f(x)x28lnx，g(x)x214x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)
3、g(x)m有唯一解，试求实数m的值答案(1)y6x7(2)2a6(3)mh(4)16ln224解析(1)因为f(x)2x，所以切线的斜率kf(1)6.又f(1)1，故所求的切线方程为y16(x1)即y6x7.(2)因为f(x)，又x0，所以当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0时原方程有唯一解，所以函数yh(x)与ym的图像在y轴右侧有唯一的交点又h(x)4x14，且x0，所以当x4时，h(x)0；当0x4时，h(x)0时原方程有唯一解的充要条件是mh(4)16ln224.4(20xx西安市质检)设函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在(1
4、，f(1)点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)f(x)有三个互不相同的零点，求m的取值范围答案(1)3x3y10(2)减区间(，1m)，(1m，)，增区间(1m,1m)，极大值m3m2，极小值m3m2(3)(，)解析(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.切线方程为3x3y10.(2)f(x)x22xm21，令f(x)0，得到x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x
5、)极小值极大值f(x)在(，1m)和(1m，)内减函数，在(1m，1m)内增函数函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.(3)由(2)知，函数g(x)在x1m处取得极大值g(1m)f(1m)，且g(1m)m3m2.函数g(x)在x1m处取得极小值g(1m)f(1m)，且g(1m)m3m2.根据三次函数的图像与性质，函数g(x)f(x)有三个互不相同的零点，只需要即所以m的取值范围是.5(20xx西北五校)已知函数f(x)ax2(2a1)x2lnx(aR)(1)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行
6、，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)x22x，若对任意x1(0,2，均存在x2(0,2，使得f(x1)ln21解析f(x)ax(2a1)(x0)(1)由f(1)f(3)，解得a.(2)f(x)(x0)当a0时，x0，ax10；在区间(2，)上f(x)0.故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，)当0a2，在区间(0,2)和上f(x)0；在区间上f(x)时，00；在区间上f(x)0，故f(x)的单调递增区间是和(2，)，单调递减区间是.(3)由已知，在(0,2上有f(x)maxg(x)max.由已知，g(x)max0，由(2)可知，当a时，f(x)在(0,2
7、上单调递增，故f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln22a22ln2.所以2a22ln2ln21.故ln21时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)maxf()22lna.由a可知lnalnln1,2lna2，2lna2.所以22lna0，f(x)maxln21.6(20xx北京)已知函数f(x)x2xsinxcosx.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围答案(1)a0，b1(2)(1，)解析由f(x)x2xsinxcosx，得f(x)x(2cosx)(1)因为曲线yf(x)在点(
8、a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cosa)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)7(20xx课标全国)设函数f(x)x2axb，g(x)ex
9、(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围答案(1)a4，b2，c2，d2(2)1，e2解析(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得F(0)0，即k1.令F(x)0，得x1lnk，x22.若1ke2，则2x10.从而当x(2，x1)时，F(x)0.即F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增故F(x)在2，)上的最小值为F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)上单调递增而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k的取值范围是1，e2
