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1、投影近似子空间跟踪 Bin Yang 抽象子空间估计在各 种现代信号处理应用中发挥着重要作用的 .在本文中 我们为跟踪信号子空间递归提出了一种新的方法 . 它 是基于一种新的解释信号子空间作为解决类似的预测 无约束最小化问题。我们证明了递推最小二乘技术可 以通过作出适当的投影逼近应用到解决这一问 n 题. 由此算法产生的复杂度为，这里的是输入向量的维数 是期望得到ro(nr)的分解后的特征值数，仿真结果表 明，这些算法的跟踪能力是类似的，且在某些情况下 比费时计算机批量特征值分解更有效，在此对新算法 和其他子空间跟踪方法的关系以及数值分析方法进行 了讨论. 1.导言 基于子空间高分辨率的方法已
2、成功地 应用于这两个时间和空间域频谱分析 .12典型的例 子是多重信号分类算法 (MUSIC) ，最小模估计方法， ESPRIT 估3计算法，和为正弦频率估计或者平面波形 对撞天线阵列的到达方向的加权子空4间拟合算法， 另一个应用是基于 Karhunen-LoCve 转变的数据压缩 方法，一连5串的数据编码的载体是其主要组成部分 实现这些技术，是基于特征值分解批次的样本相关矩 阵或奇异值分解的数据矩阵的 .但这种做法不合适自 适应处理，因为它需要反复特征值分解和奇异值分解 这是一个非常费时的任务. 为了克服这一困难, 过去已 制定了一些子空间的跟踪自适应算法，大多数这些技 术可分为三个家族，第
3、一个是，经典的批量特征值分 解和奇异值分解，雅克 6-10比轮换，能量迭代，和 已被修改用来进行自适应处理的 Lanczos 方法；第二 1112,13种是一种更新算法 变化的聚束矩阵的秩， 就像子空间求平均值 .第三种经典算法认为批量特征 值分解和奇异值分解是一种限制或者无限制的优化问 7,14-1920,2122题。梯度技术,高斯牛顿迭代，和共 轭梯度技术可以适用于寻求最大或最小特征值 . 222 从计算的角度来看，我们可以区分的方法，需要将或 O(nr),O(n),O(nr)n 者进行一次一更新的运算 .其中是输 入向量的维数， 是期望得到的分解后的特征值数，各种各样的复杂的原因归结于一
4、些算法完全更新的特征结构，是否明确计算的样本 相关矩阵，而其他的只跟踪信号子空间或噪声子空间 25例如，一种简单概括的能量方法，适应于的主要 特征向量的样本相关矩阵在r27,17每次更新时给出 一个能量进行迭代，这种方法需要运算， Stewart 的 O(nr)23URV 更新算法跟踪信号源与信号和噪声子空 间而无须对样本相关矩阵估值.2 它有一个为的计算复 杂度，同一顺序的计算也是所需要的 Moonen et al. 并O(n)行方法，其中用交错的QR三角和Jacobi轮换更新奇异值分解，梯度型算法跟踪无论是信号或噪声 子空间，他们要求为运算的梯度上升或逐步上升而且 运算O(nr)213出附
5、加标准正交化的特征向量的估计 值.DeGroat开发一个信号平均算O(nr)法.这种方法平 均信号与噪声特征使之称为两个子球。结果表明，子 空间跟踪成为非迭代任务，只需要为运算更新. O(nr) 在本文中，我们用一种新的方式来跟踪信号子空间， 它作为一种新的解释的信号子空间的无约束最小化问 题的解决方案 .我们首先讨论一些梯度下降方法，其 余的内容则侧重于不同的做法，我们证明了通过作出 适当的投影逼近能最大限度地简化众所周知的指数加 权最小二乘问题，递归最小二乘技术(RLS)就可以 有效地用于跟踪信号子空间，由此产生的算法有一 个计算复杂度为，我们O(nr)可以获得(不完全正交) 信号子空间基
6、值或信号特征向量的估计值. 本文安排 如下，在第二节中讨论信号和噪声子空间的定义以及 对他们在信号处理中的一些应用作简要说明。第三节介绍了一种无约束成本函数，并证明它没有局部极大值和极小值除了一个唯一全局最小对应的信号子空间 在此基础上观察，在第四节将讨论各种自适应算法跟踪信号子空间的开发，第五节提出了一些仿真结果表 明来算法的适用性和性能.2.子空间和子空间应用 n使作为所观察到的数据矢量的快摄 , 在空间域频谱分析中， i阵列,同时在网域频谱分析中，x(t)Tnx(t )是矢量的包括的样本相关连续样本时间序列，我们假定是x窄带信号波形对撞天线阵歹列的组成部分，或者非相干的复杂正弦被加性噪声
7、 rr 带噪 ，由下面的公式给出：r( 1 )这里,而且S是a确定(t的阶(矩阵t,是奇异相咲r矩阵的一个随机矢量源，为导向或频率1)a()Z.,e 矢量，在声频检索中，是的正弦角频率，在(阵列歹 处理中：i(2)保证平面波形对撞成为线性均匀探测阵列。这 里是间距传感要素，是波长，d2 是相对DOA阵 列的宽边.如果噪声是白噪声(也许是白化步长)与 有平 u(t)i 等的差异但与无关，下面的表达是为了观 察相关矩阵的收率：S(t) HH2(3)让和成为特征值和的相应 正交特 )恂量4在矩阵记法中u(i。如果小于，无序非增长的特H n征值由下面的式子给出：diag（）C U Urlnl,.,n（
8、4）2占主导地位的特征对，称为信号的特征值和特征向量信号，而,被称为噪声特征和噪音特征向量（，u）i和：（Mi r （5）被定义为信号与噪声子 空间1，人们很容.易以确认与具有相同的栏跨度和AUS 噪声子空间的正交补的信号子空间在数据压缩中，我们感兴趣的是编码序列随机向量的 样本占据最小的存储空间，这里可能是序列图像或语音音）素，在最小二乘中解决这一问题的方法是KL展开，经过计算SVD 的阶矩阵或H者ED相应的相应的样本相关矩阵，每个样本矢量编码是由一个低维向量:x（t） C （6）S这里包摺占优势权奇异向量或者的等效特征相量，n r 现在阶矩阵urrCX和都被替代，信号重建Mt） |t丄（7
9、）1 Sss】，很明显，空间应用的特点具有以下几个特征：n只有为数不多的几个特征向量是必需的 .由于输入向量维是 往往大于，比 2r 之与噪声子空间它更有效地作用于 低维信号子空间. . 在许多应用中，我们不需要特征 值.除了在利用 WSF 估算和用特征值来估计信号的数 目来源时，在本文中我们假定是已知的. r . 有时候 没有必要完全准确地了解特征相量 .例如，在多重信号分析方法(MUSIC),最小模估计，或者ESPRIT估 算中，用一个任意标准正交基信号子空间就足够了 . 事实上，我们只需要一小部分的特征结构就能够通 过减少计算和存储需求来发展子空间跟踪算法. 3. 一种新的信号子空间的介
10、绍 Hn 设是一个随机复杂值过程向量且相关矩阵.我们考究以下的标量函数2 x CC xxJhhHHJ购)Ex V矩阵变量)在不丧失一般性的前提下，我 们假设是一个秩为的满秩矩阵否则,n r如果的秩，在方程(恸中的就经常被另一个满秩 矩阵所替代以满足请注意我们对没有任何的约束条件，W,尤其是没有 的标准约束，因此没有对进行定义，因为在在无限 大时WWWJ(W)也为无限大，我们感兴趣的是极小的, 我们希望知道：J(W)是否存在全局最小值？ J(W)该=J小值与信号子空间之间的关系？C是否还有其他的局部极小值？J(W)这些问题通过以下的定理可以得出：有且仅有当时，是上一个稳定 点，这垦rw UQ定理
11、1, rr包含了不同的标准向量。是任意酉矩阵在各个 稳定点，都等价于那些特征向量不属于的r r特征值的总和ur证明：见附录所有在上的稳定点都 是谷点，除非当包含的个最大特征 UCJ(W)r 定理 2：r 向量在这种情况下达到全局最小值.J(W)证明：见附 录以下是对定理发表的评论：当出现最小值时的纵 向跨度等价于信号子空间同时没有其他最小WJ(W)值.的收敛性.CJ(W)我们对的纵行标准没有任何的约束 条件上述两个定理说明在(8)对 W 的求最小可以 自动的将的纵行标准化 这就使得我们的信号子空间解释WJ(W)18是区别于那些标准化被明确提出以求 最优的那些文献解释的以 Yang 和 Kave
12、hHH 作为实 例，他们提出对服从求最大或最小值以找出中的信号或者干扰子空间这是一个约束 最优化问题，其结果是，每次更新(或周期)16,19 后要重新正交化或做一些类似的近似规划正交集 ， 以迫使该算法收敛 W 在方程( 8 )中 ，我们处理的是一个无约束最小化的问题，要尽量少使用迭代算 法，在迭代过程中将总是收敛到信号子空间的一个 正交基而不需要正规J(W)正交化处理重要的是要注 意的最小值，不包含信号特征向量。取而代之的是 我WJ(W)们得到由定理1中酉矩阵所标示出的标准正交化的基础。这并不奇怪，因为参数 H 空间的转 换使得是不变的。,从另一方面说，当为最小值时并不是唯一的，但是向量积是
13、唯一的等价于信号子空WWWJ(W)间投影矩阵. . 对于简单一维向量，求最小值的方法主要是的归一化特征向量子空间轨迹. C 4.子空间跟踪在快摄实际应中，我们的主要兴趣在于估计递归信号子空间.t我们的目标是开发有效 的运算法则用来估算在时间内信号子空间和引入的 样本矢量，从以上信号子空间的解释开始，产生了 各种不同的可能性. x(t)A梯度法自(8)描述了一种无约束成本函数是最小,它是适用于简单的梯度下降 技术的子空间跟踪，的梯度和是由下面的式子给出的(见附录)WJ(W)HH( )因此更新的子空间9可 以写 CC成W：CWHHW(t) W(t 1)2C(t) C(t)W(t l)W(t 1)
14、W(t( ) 是 10相契矩阵脚询哪时候的一个估这里且是适当选择得 到的步长，C(t)计值，我们可能利用一个加权指数或滑动窗口来稱锂行估值，最简单的选择，瞬时估计值就像在最小二乘技术(LMS)中用到的自适应滤波算 法，造成子空间更新是由：HHHHHW(t) W(t 1)2x(t)y(t) x(t)y(t)y(t) w(t i)x(t)卿细计算衷明,(11)J这算法的计算復廉度为O(nr)我们注意到，由单位矩 阵 进一步简化上述算法可以实现近似( )中 HHI 11W (这种近似的理由是通進我们的观察将收敛到一个正(12)交矩阵(当)或者接近正交(当是一个足够小的常量)的列平稳信号，如果我们一维
15、相量是()中所提到的情况，那么我12们得到了：(13)*H且，此更新的公H式t与被(段计用于通這一)个单t一的线性单位神经网络提取第一主成分的 Oja 学15,19琲规则是相同的.B.投影近似子空间跟踪与基于压缩技术的投影近似子空间跟踪算法 尽管(11)和(12)11 12两种基于梯度的空间更新方法的适用性已经在我们的 模拟中得到证实(本文中并未提及)，这也不是本文 研究这些细节的目的，在这项工作中我们主要的兴趣 聚焦于一个不同点，也就是所谓的投影近似子空间跟 踪方 法，用指数加权增长率和替换( )中的期望值：26 8t2t iHJ(W(t) x(i) W(t)W(t)x(i)i 1HHH2trW(t)C(t)W(t) trW(t)C(t)W(t)W(t)W(t)所有有效的样本向量在时间区间内都涉及到在瞬时时刻对信号子空间的估值，遗忘因子的用处是确保数据在遥远的过去下降1 i t了权重，以便当系统运行在一个非平稳环境时能够提供跟踪能0 1力，对
