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1、应用留数定理与数学分析中求积分的比较周苗数学与信息科学学院数学与应用数学08292841摘要在计算某些三角有理函数的积分时，用数学分析中的万能公式等方法计算往往是十分麻烦或者不易求出这些三角函数的积分，但如果应用留数定理计算某些三角函数的积分就显得比较简洁关键词留数留数定理定积分万能公式1引言近年来为适应教育改革而提倡的研究性学习，可培养新时代学生的创新能力产 生新的学习方式，也就是说对一些重点、热点问题进行专题研究，对思维能力的培养 数学素养的提高显得尤为重要在求三角有理函数的定积分问题上，一般教材介绍的都是先用万能公式化为一 般函数的定积分，然后再利用换元法、公式法、分部积分法等方法来计算
2、这些方法虽然都能达到计算目的，也各有优势但存在一个最大的缺点：计算量大且计算繁 琐,给我们的学习带来不便，导致很多学生没法求出一些定积分的结果本文就是针 对应用万能公式的缺点，巧妙的应用留数定理进行转化，求出定积分本文主要是解决用一般方法很难求得的三角有理函数的定积分应用留数定理进行求解的问题， 简化我们计算的繁琐过程其要点是将定积分化归为复变函数的周线积分，然后利 用留数定理进行求解本文主要将用留数定理和万能公式求积分进行比较，体现利 用留数定理求解某些三角函数积分的优越性2留数定义及留数定理2.1留数定义如果函数f z在点a是解析的，周线C在点a的某领域内，并包围点a，则根据 柯西积分定理
3、f zdz =0c但是，如果a是f z的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心领域内，并包围点a，则积分的值，一般说来，不再为零，并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来概括起来有定义2.1设函数f z以有限点a为孤立奇点，即f z在点a的某去心领域Ocz-a cR内解析，则称积分1Jf (zdz(|z a| = P,o PcR)2. -为f (z在点a的留数(residue)，记为Res f(z).由柯西积分定理知，当0： X：r，留数的值与无关，利用洛朗系数公式有:12fzdzz -a这里C是f z在z二a处的洛朗展式中 丄这一项系数 由此可知，函数在有限可去奇点处的留数为零.2.2留数定
4、理2.2.1 柯西留数定理设f z在周线或复周线 C所范围的区域 D内，除a1,a2,外外解析，在闭域doc上除a,外连续，则“大范围”积分)cf级=巴眉 z 证明 以ak为心，充分小的正数Pk为半径画圆周k：za = Pk(k=1,2, ,n)使这些圆周及内部均含于 D，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得.f zdz = v . f zdz， ck*由留数的定义，有f z dz = 2二 i Res f z .z=kn代入上式得f zdz=2二卜Res f z CkJ 72.2.2 留数的求法为了应用留数定理求周线积分，首先应该掌握求留数的方法而计算在孤立奇1点a的留数时，我们只关心其
5、洛朗展式中的 之意向的系数，所以应用洛朗展式z-a求留数是一般方法.下面介绍求n阶极点处的留数的公式，免得每求一个极点处的 留数，都要去求一次洛朗展式.定理1设a为f z的n阶极点，z(z-a J其中z在点a解析，;a =0,则an -1 !这里符号0 a代表a，且有:n-1 a imz=an -1证：Rej-三严.氓 推论1设a为f z的一阶极点,z 二 za f z ， 则Res 二 az =a推论2设a为f z的二阶极点，z = z-a2f z，则Resf zi；V az =a3留数定理在定积分中的应用2：3.1形如 f cosx,sin x dx型的积分0这里f cosx,sinx表示
6、cosx,sinx的有理函数，并且在0,2二上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2二，这样当作定积分时x从0经历变到2二， 对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量当满足这两个特点之后，我们可设 z二eix，则dz二izdx，ix .ix 2ix. ix2e -ez -1e +e z +1sin x， cosx得2i2iz22zHdzI 2z 2iz / iz2 二f cosx,sin x dx 二0 注：这里的关键一步是引进了变数代换 z=e旧，至于被积函数R(cosB,si nB在10,2冗】上的连续性课不必先检验，只要看变换后的被积函数
7、在 z =1上是否有奇点.3.2 万能公式求积分2兀f cosx,sinxdx是三角函数有理式的定积分，一般通过变换t = tan，可把它化为有理函数的不定积分，这是因为sinx 22sin x +cos x2tan22t2 21 ta n x 1 t2 x . 2 x cos sin 一 22 xcosx 二 2.2 x sin cos - 2 2-tan _-t222 x 1 t21 tan 2#dx 说 dt 1 t22 dt2n1所以 0 Rsin Xcosxdx jR4应用比较留数是与封闭曲线上的复积分相联系的.因此，定积分要想利用留数来计算就面临两个问题：一是要将定积分的被积函数实
8、函数变为复函数，而且是解析函数.这一点容易做到，因为实积分的被积函数是初等函数，不难推广到复数域内；二是 要将定积分的积分区间，一般采用代换或者添加辅助曲线，并且辅以极限概念来实 现.对于个别在实轴上存在奇点的，还需要对分数路稍作变化调整.而对于三角函数的定积分R sinx,cosxdx都可以用“万能代换” t=ta化为a2有理函数进行积分.但这时产生的有理函数的分母次数较高，计算量较大.在求三角函数定积分时，当被积函数是sin被积函数在Z=1内只有一个一阶极点z = - 1，由定理 x,cos2x及sinxcosx的有理式时，采用变换t =tanx较方便一些.因此下面我们对此进行比较例1计算
9、I二2 二 dr0 5 3cos r#解法一：留数定理解令z=e*，由留数定理知5 3cos)如i(3z2 +仏+3产_鼻dz3i z+(z+3)#从而 Res R z 厂1 = lim:32 =丄3i z 3 _4i#所以由留数定理知:宀 iResRzd 也 irn nI =l4i 丿 2#解法二：万能公式1 t22令tant,贝V cos, d2 dt，所以21+t1+t2n1dr1 t2-_31_t2dt二Edt5 3-be21tL(t d1 =arcta nfW .丿2 241 +LS丿5 3cosr1 t2亠. n-：_2从上面两种求解方法对比可以得到，方法一应用留数定理进行积分求解
10、，计算量小, 思路清晰显然,在第二种方法求解时，运用万能公式将三角函数的定积分转化为 求无穷积分的解，其计算量远远大于第一种方法例2计算积分(0 乞 p 1)d日21 -2pcos： p解法一：留数定理 令z 则旷-込当p“时，iz1-2pcos丁 p2 二 1 _ p z zp2 二pz-z所以1dzf izU z_p 1_pz#且在圆z c1内被积函数只以z=p为一阶极点，在z =1上无奇点，则依定理警也）吐!哩乙孑川討0“小所以由留数定理知:I =2冗 iResR(z), p 1-2冗 i吩(gp1)#解法二：万能公式0令tan t,则 cost21 -t1 t2dt，所以2ndr1 -
11、2p cos：2-：1 t -2p 2 pt2dt1 t21 -2p1-t22,2 p tdtpt t1 -P2占2Pt +t jP -1p -11-P2arcta n1-P2#从例二这个例子我们还是可以发现 ，虽然运用数学分析中的万能公式也能求解出来，但是计算量太大.而留数公式则大大简化了计算量，回避了计算量大的缺点，并 且体现了思维的简洁性，思路的清晰性，给人一目了然的感觉.例3计算积分丨丨0 a2sin2 丁#解法一：留数定理令z弋宀0 r 2 1，2 - hz，则 iz1 2| 2 0 a2 sin2 -=2i.zdzz z2 2az T z2 -2az -1被积函数在z =1内有两个
12、一级极点：-aa2 1, z2 = a2 1,故由留数定理有I =2i 2| iRe sR z ,乙 L：；，ResR z ,z2 na . a1 2id 丁2 0 a2(sin2 v cos2 v) sin2 r1 2I 丨sec2 d2 0 a21 tan2 v tan 一：ii:ii 22dt22 Rt2 ；a2 1t2t22 -： a21 a212 1解法二：万能公式令 t 二 tan 二，dt 二 sec2v，贝Udra2 sin2 ；|1 2H dr2 0 a2 sin2#12a、a2 1a+七Q =na、a2 1由于本例题的被积函数是关于sin2x的有理式的积分，所以在使用万能公
13、式时做的x代换是t =ta nx,比令t=ta n-稍微简单些，但是与留数定理比较还是略显复杂2例4计算积分2【sin2 二0 a bcos4z2dziz.22(Z2 -12、dz2 2a 彳z z 1 b2 22b z - z z - : z -其中土产为实系数二次方程.2 Z. dZ#1=0b的两个相异的实根.由根与系数的关系oP =1，且显然円|,故必叫 1.于是，被积函数f(z )在Z =1上无奇点，在单位圆ZC1内只有一个二阶极点z=0和一个一阶极点Z-.，- 阻sf(Z2 1 2Z2 Z 1bR ff 、(Z2 -1 )(1、2 n (a-M由留数定理得2aba -Pb2b2a +2ya2 -b2bb#对于例4,比例1,例2,例3更为复杂，如果,4运用万能公式进行代换求解，其计算 量可以想象.所以运用留数定理大大减少了我们的运算量 综上，由以上四个例子可以得出，我们在计算有关三角函数的定积分的时候可以避 免用万能公式，而是根据具体情况运用留数定理寻找较为简单的解法，
