《2021年高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第6章第3节等比数列及其前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第6章第3节等比数列及其前n项和（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4. 了解等比数列与指数函数的关系.华亮基学生打课前自主必备知识填充：!1 .等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 (不 为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为aan1 =q(nCN + , q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使得a, G, b成等比数列,那么 根据等
2、比数列的定义，黑G，G2 = ab, G= ijab,那么G叫作a与b的等比中项.即： G是a与b的等比中项？ a, G, b成等比数列？ G2= ab.2 .等比数列的有关公式(1)通项公式：an= aiqn1 = amqn m.(2)前n项和公式：na1 q= 1 ,Sn= a1 1 qn a1 anq d = q w 1 . 1 q 1 q 常用结论等比数列的常用性质1.在等比数列an中，若 m+n=p+q = 2k(m, n, p, q, kC2N+),am.an.三,ap.aq=.ak.2 .若数列an, bn(项数相同)是等比数列，则入叭 /0), 士，a2, an bn, ana
3、n , bn仍然是等比数列.3 .等比数列an的前n项和为Sn,则&,.加二与，一班二62匹仍成等比数列，其公比为qn,其中当公比为一1时，n为偶数时除外.学情自测验收：一、思考辨析(正确的打“，”，错误的打“x”)(1)满足an+i = qan(nCN+, q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a, b的等比中项？ G2 = ab.()(3)若an为等比数列，bn=82n l + a2n,则数列 bn也是等比数列.()a 1 an(4)数列an的通项公式是an = a ,则其前n项和为Sn = 一 一.()1 a(5)数列an为等比数列，则S4, S8-S4, S12S8成等比数列.
4、()答案(1)X (2)X (3)X (4)X (5)X二、教材改编1 .在等比数列an中，a3 = 2, a7 = 8,则a5等于()A. 5B. i5C. 4D. MC . a5 = a3a7= 2X 8= 16, .a5=甘.又.a5= a3q20, a5=4.2.等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a，米 = 9,则a = ()A.1B.-13311C.9D.-9C .& = a2+10a1, .a1+a2 + a3=a2+10a1，. 3 = 9a1,即公比 q2 = 9,又 a5=a1q4,.a5 _9_ 1 +3生人 i可:二网二故选C.3.在数列an中，a1=2,
5、 an+1 = 2an, Sn 为an的前 n 项和.若 Sn=126,则 n = 10 = 2, an+1 = 2an, 数列an是首项为2,公比为2的等比数歹I.2 12n又Sn=126,=126,1-2解得n = 6.4. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 MB,然后每3秒自身复制 一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB= 210 MB).39 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an,且 a = 2, q = 2,.an=2n,则 2n = 8X210=2i2. (2019全国卷I )记Sn为等比数列an的前n项和
6、.若a=4，a2=a6,则S5= 3, ；n=13.即病毒共复制了 13次.所需时间为13X 3= 39(秒).总附需*考点 课堂考点探究 核解再旁烧珀考点1等比数列的基本运算就通法等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前 n项和公式共涉及五个量a1，an, q, n, Sn,已知其 中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q= 1和qw 1两类分别讨论.阿典蓬1.设S为等比数列an的前n项和，已知3S3=a4 2,3& = a32,则公比 q=()A. 3B. 4C. 5D. 6B 因为 3S3=a4 2,3& = a32,所以两式
7、相减，得 3(S3&)= (a42) (a32),即 3a3=a4a3,一 a4得 a4 = 4a3,所以 q = = 4.a3121中 设等比数列的公比为3q,由已知a1 = 3, a2 = a6,所以 gq3 2=1q5，又 q*0,5a1 1 q所以q = 3,所以Ss=1 q1531-351-3121 亍39 一3.等比数列an的各项均为实数，其刖n项和为Sn,已知a3=2，S3=2，则a2=解设an的公比为q,由题设得an = qn-1.由已知得q4 = 4q/2 bn+ 1 3b” b1 a2 a1 3,解得q = 0(舍去)，q=2或q = 2.故 an=( 2)n1 或 an
8、= 2n1(n N+).12 n若 an=( 2)n,则 Sn=3由 Sm=63 彳4( 2)m= 188,此方程没有正整数解.若 an = 2n1,则 & = 2n1.由 Sm=63 得 2m = 64,解得 m=6.综上，m=6.靠点评 抓住基本量a1, q,借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注 意方法的择优，如T3,方法二避免了讨论.考点2等比数列的判定与证明除通法判定一个数列为等比数列的常见方法an+1定义法：若丁=q(q是不为零的常数)，则数列an是等比数歹I; an通项公式法：若an = Aqn(A, 超典/设数列an中，a1=1(2)等比中项法:若a2+1 = ana
9、n+2(nC N+, anW0),则数列an是等比数列;q是不为零的常数)，则数列an是等比数列.552 人a2=3, an+2 = 3an+1 3an, 令 bn=an+1 an(n C N+)(1)证明：数歹Ibn是等比数歹I；求数列an的通项公式.解(1).an+2= 5an+ 1 - 2an ,33bn= an+ 1 an ,.2、H .an+2an+1= (an+1 an),血32 .-，2, bn是首项为3,公比为2的等比数列.3322 n i 2 n(2)由(1)知 bn=x 3= 3n，. an an1 n_ 1.an= (an an i) + (an i an2) + + (
10、a2 ai) + ai = 1 + ,+ 同2+ n 3331- 2 ncr=3-3n. 11 3逆向问题已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an 3n(nC N+).(1)求 a1，a2, a3 的值；an,(2)是否存在常数 入使得an+；为等比数列？若存在，求出入的值和通项公式 若不存在，请说明理由.解(1)当 n=1 时，S1=a1 = 2a1一3,解得 a1 = 3,当 n=2 时，S2= a1 + a2= 2a26,解得 a2 = 9,当 n=3 时，S3=a1 + a2+a3 = 2a3 9,解得 a3=21.(2)假设an+ :是等比数列,则(a2+2=(a1+ 2)(a3
11、+ , 即(9+旌=(3+(21+九解得上3.下面证明an+3为等比数列：Sn = 2an 3n, . 8+1 = 2an+1 3n 3, an + 1 = Sn+1 Sn = 2an + 1 2an 3 ,即 2an+3= an + 1 ,2(an + 3) = an+1 + 3,an+1+ 3an 3存在 彩3,使得数列an+3是首项为a1+3=6,公比为2的等比数歹1.；an + 3=6X 2n 1,即 an=3(2n1)(nC N+).点评(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于 选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数
12、列即可.(2)已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题.教师备选例题设数列an的前n项和为已知ai = 1, Sn+i = 4an + 2.(1)设bn= an + 1 2an,证明：数列bn是等比数列；求数列an的通项公式.解(1)证明：由 ai = 1 及 Sn+i = 4an+2,有 a1+ a2= * = 4a1+ 2. a2=5, . b1 = a2 2a1 = 3.Sn+1 = 4an+2,又Sn=4an-1 + 2 n2 ,一，得 an+1 = 4an 4an-1(n2),-an+1 2an = 2(an2an-1)(n2). bn= an+1 _2a
13、n,如=2bn-1 (n2),故bn是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知 bn=an + 1 2an=3 2n，an+1 an 3. 2n + 1 2n = 4，故an是首项为2；公差为4勺等差数列.an 1-+ (n-1)3 3n14= 4 ，故 an=(3n1) 2n-2 (2019 全国卷H )已知数歹Ian和bn满足 a1 = 1, b1 = 0,4an+1 = 3anbn +4,4bn+1 = 3bn an 4.(1)证明：an+bn是等比数列， an bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.解(1)证明：由题设得 4(an + l+bn + 1)= 2(an+bn
14、),即 an + l +bn).bn + 1 =一，, ，1 -，又因为a1 + b1 = 1,所以an+bn是首项为1,公比为2的等比数歹I.由题设得 4(an +1 bn+1)= 4(an bn) + 8 ,即 an + 1 bn+ 1 = an bn + 2.又因为a1 b1 = 1,所以anbn是首项为1,公差为2的等差数列.1 1 C /(2)由(1)知，an+bn = 1, anbn=2n1.111所 以 an=2(an+bn) + (an bn) = 2n+n2,111bn= 21(an+ bn) (an bn) = 2n n+ 2.考点3等比数列性质的应用霖通法等比数列性质的应用可以分为3类(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.
