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1、运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x24为 6x2 _ 6 st 4x1+2x2 4Xi,X2 _0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集 MABC,且可知线段BA上的点都为3最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为=2 - 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x1 5x213为 4x2乞9a )s.t5为+2x2兰8x1, x 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集 OABCO且可知B点为最优值点,即严+4卷=9斗|人3，即最优解为x1,3(5X1 +2X2 =8& =2I 2丿这时的最优值为Zmax = 10
2、1 5 -2 2原问题化成标准型为max z=10x1 5x23 4x2 x3 = 9 s.t 5 +2x2 +x4 =8Xi,X2,X3,X4 0Cj T10500CbXbbX1X2X3X40X3934100X485201Cj -Zj105000X321/5014/51-3/510Xi8/512/501/5Cj -Zj010-25X23/2015/14-3/1410Xi110-1/72/7Cj -Zj00-5/14-25/14z T所以有1,3 ,Zmax=10 1 5I 2 丿22P78 2.4已知线性规划问题：max z =2x 4x2 x3 x4/ +3x2+x4 兰 82咅 +x26
3、彳x2 +x3 +x4 兰 6x, + x2 + x39XZX, X4 一0求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X(2,2,410)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w =8y, 6y2 6y3 9y4i+2y2+y4 兰23yrHyHyrHy4彳yyiyi, y2,y3,y40(2)由原问题最优解为X* =(2,2,4,0)，根据互补松弛性得：y1 2y2y4 = 23y1 y2 ya y4Iya + yU把X* = (2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即 2 2 4 =8 42xi +2
4、X2 +2x3 兰3xi,x?,x 0(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题;解：(1)该线性规划问题的对偶问题为:max w = 2% 4y2 3y33% +4y2 +2y3 W602% +y2 +2y3 玄40yi 3y2 2y3 80yi,y2,y0(2)在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z = -60旨-40x2 -80x33xi 2x? X3 + X4= -24xi x? 3X3 + X5 4-2 Xi 2 X2 2 X3+ = _3Xj j =1川,6Cj T-60-40-80000CbXbbX1X2X3X4X5X60X4-2-
5、3-2-11000X5-4-4-1-30100X6-3-2-2-2001Cj -Zj-60-40-800000X410-5/45/41-1/12080X1111/43/40-1/400X6-10-3/2-1/20-1/21Cj -Zj0-25-350-1500X411/6005/311/3-5/680X15/6102/30-1/31/640X22/3011/301/3-2/3Cj -Zj00-80/30-20/3-50/3x* =(5,?,O)T,Zmax =60 540 -80 0 二空6 3633P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见 下表。要求：（a）
6、确定获利最大的产品生产计划；（b）产品A的利润在什么范围 内变动时，上述最优计划不变；（c）如果设计一种新产品D,单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？ （d） 如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位 0.4元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜消产品ABC可用量（单位）劳动力 材料6353454530产品利润（元/件）314解：由已知可得，设Xj表示第j种产品，从而模型为:max z = 3片 x2 4x36x 3x2 5x3 乞 45st3为 +4x2 +5x3 兰 30冷 X2,X3-0a）用单纯形法求解上述模型为:Cj
7、t31400CBXbbX1X2X3X4X50X445635100X53034501Cj -Zj314000X4153-101-14X363/54/5101/55 -Zj3/5-11/500-4/53Xi51-1/301/3-1/34X33011-1/52/55 0-20-1/5-3/5得到最优解为x* = (5,0,3)T ;最优值为zax =3 5 4 3 = 27b ）设产品A的利润为3，贝U上述模型中目标函数Xi的系数用3替代并求解得:5 t3+Z1400CBXbbX1X2X3X4X53X151-1/301/3-1/34X33011-1/52/55 -Zjk-20-1/5-3/5(5 -
8、Zj i0-2+ 九 /30-1/5-人/3-3/5+ 九/3要最优计划不变，要求有如下的不等式方程组成立-203-10解得:53_3一955从而产品A的利润变化范围为:3却 91 即 _2r4lC)设产品D用X6表示，从已知可得；6 = 4 -cbB_P6 =1/5-F6 = B 巳=把X6加入上述11331 255模型中求1 -;2J 一解得：2【45 一Cj T314003CbXbbXiX2X3X4XX63Xi51-1/301/3-1/324X33011-1/52/5-4/55 -Zj0-20-1/5-3/51/53X65/21/2-1/601/6-1/614X352/513/151-1
9、/154/1505 N-1/10-59/300-7/30-17/300从而得最优解 x(0,0,5,0,0,5 /2)t ;最优值为 zma4 5 327.5 272所以产品D值得生产。d)P101 3.1已知运输问题的产销量与单位运价如下表所示，用表上作业法求各题 的最优解及最小运费。表 3-35解：由已知和最小元素法可得初始方案为检验:进B1E2 I1391行位势AI胆A3冏崗违20 头丄 |5珂辿览陶專3)15 出 10 0诃1&13列位势-U 1314由于有两个检验数小于零，所以需调整，调整一:检验:BlB2B3B4行位势A1A2A3训15 20両场）1IJ 0 旬话 辺迪）迥迪）训o
10、164列位势-21314调整二:检验:由于还有检验数小于零，所以需调整,B2B3B4行位势A1昶51A2吨釣10勺156A38列位势-61310从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案最小运费为：zmin -2 5 2 5 7 10 9 15 11 10 18 0 =335解：因为ai =58八bj =55，即产大于销，所以需添加一个假想的销地，销i =1j =1量为3,构成产销平衡问题，其对应各销地的单位运费都为0由上表和最小元素法可得初始方案为检验:BlB2B354B5行位勢A1172J,倒1A26g 9|130IT4A35 1 创10%3列位势2 000-4从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案最小运费为：Zmin =6 9 5 1 3 10 - 1 7 4 13 3 15 0 3=193表 3-37A18637520A25M84730A36396830销量252520102035解：因为ai =80八口 =100，即销大于产，所以需添加一个假想的产地，产i =1j d量为20,构成产销平衡问题，其对应各销地的单位运费都为0产地销地B1B2B3B4B5产量A18637520A25M84730A36396830A40000020销量2525201020由上表
