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1、 精品资料第5讲椭圆基础巩固1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3答案:A解析:根据椭圆的定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.2.椭圆+y2=1(a4)的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案:D解析:e=,a4,eb0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.-2来源:答案:B解析:因为A,B为左,右顶点,F1,F2为左,右焦点,所以|A
2、F1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e=,故选B.6.已知椭圆=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是()来源:A.B.C.D.答案:D解析:左焦点F(-c,0),右顶点A(a,0),不妨设点B在第二象限,则B,由=2,得0-a=2(-c-0),所以e=.7.若AB为过椭圆=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则F1AB面积的最大值为()A.6B.12C.24D.48答案:B解析:由椭圆的标准方程
3、可知a=5,b=4,则c=3.如图所示,由于,根据椭圆的对称性可知,当且仅当BOF1面积取最大值时,取得最大值,这时B为短轴的端点,即的最大值为cb=34=6.故F1AB面积的最大值为12.8.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是.答案:(0,1)解析:椭圆方程化为=1.该椭圆焦点在y轴上,则2,即k0,0kb0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案:-1解析:由y=(x+c)知直线的倾斜角为60,MF1F2=60,MF2F1=30.F1MF2=90.|MF1|
4、=c,|MF2|=c.又|MF1|+|MF2|=2a,c+c=2a,即e=-1.10.(2013吉林阶段检测)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆C相交于A,B两点.若=3,则k=.答案:解析:根据已知,可得a2=c2,则b2=c2,故椭圆方程为=1,即3x2+12y2-4c2=0.设直线的方程为x=my+c,代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据=3,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,根据韦达定理y1+y2=-,y1y2=-,把-y1=3y2代入,得y2=
5、,-3=-,故9m2=m2+4.故m2=,从而k2=2,k=.又k0,故k=.11.如图,F1,F2分别是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60. (1)求椭圆C的离心率;(2)已知AF1B的面积为40,求a,b的值.解:(1)由题意可知,AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=.(2)方法一:a2=4c2,b2=3c2.直线AB的方程可为y=-(x-c).将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得B.所以|AB|=c.由|AF1|AB|sinF1AB=aca2=40,解得a=10,b=5.方法二:设|AB|=t.因为|A
6、F2|=a,所以|BF2|=t-a.由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a,可知|BF1|=3a-t.再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60,可得t=a.由aaa2=40,知a=10,b=5.12.若椭圆=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,求椭圆的方程.解:显然x=1是一条切线,且过切点A(1,0),设另一条切线方程为y-=k(x-1),即2kx-2y+1-2k=0.由=1,解得k=-.因此圆的切线方程为3x+4y-5=0.解得B.进一步求得过A(1,0)与B两点的直线方程为y=-2x+2.令x=0,得y
7、=2.故在椭圆方程=1中,b=2,c=1,a2=5.因此椭圆方程为=1.13.(2013北京,文19)直线y=kx+m(m0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.来源:(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明四边形OABC不可能为菱形.解:(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A,代入椭圆方程得=1,即t=.所以|AC|=2.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且ACOB,所以k0.由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),
8、C(x2,y2),则=-=k+m=.所以AC的中点为M.来源:因为M为AC和OB的交点,且m0,k0,所以直线OB的斜率为-.因为k-1,所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.拓展延伸14.已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为=1(a2),其离心率为,故,则a=4,故椭圆C2的方程为=1.(2)方法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA)
9、,(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以.将y=kx代入=1中,得(4+k2)x2=16,所以.又由=2,得=4,即,解得k=1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以.由=2,得,将代入=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.来源:
