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1、推理与证明知识网络合情推理归纳类比推理与证明演绎推理直接证明分析法间接证明反证法第1讲 合情推理和演绎推理知识梳理1. 推理根据个或几个事实（或假设）得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说，推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由已 知推出的判断，叫结论.2、合情推理： 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进彳亍归纳、类比，然后提出的推理叫合 情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些 特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、
2、 由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出 另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提一-已知的一般 原理；（2）小前提-所研究的特殊情况；（3）结论一一根据一般原理，对特殊情况作出的 判断。重难点突破重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别 与联系难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或
3、规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题 1：观察:、.行 +%氏 2侦T! ； 5.5 165 21 ； 3 气百 + ：19 + t3 2tli ；.对于任意正实数a,。，试写出使如+b 一 ）3、运用演绎推理的推理形式（三段论）进行推理问题3：定义x为不超过x的最大整数，则-2.1=点拨：“大前提”是在（一8,X找最大整数，所以-2.1=-3热点考点题型探析考点1合情推理题型1用归纳推理发现规律例1 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律
4、（1）结构的一致性，（2）观察角的“共 性3 解析猜想：sim(以一 6Oo) + sin2 以 + sim(以 + 6Oo)=2证明：左边=(sin a cos 6Oo cos a sin 6Oo)2 + sln2 a + (sin a cos 6Oo + cos a sin 6Oo)23 .、 3=（sin2 a + cos2 a） = _ =右边22【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”二是“递推型”，三是“循环型” （周期性）例2 （09深圳九校联考）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为
5、一组蜂|巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图II I，） I有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以 1 1 1 V l V l1f (n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f=; f (n) =.【解题思路】找出f (n) - f (n -1)的关系式解析f (1) = 1, f (2) = 1 + 6, f (3) = 1 + 6 +12,. f (4) = 1 + 6 +12 +18 = 37f (n) = 1 + 6 +12 +18 +A + 6(n 1) = 3n2 3n +1【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 【新题导练】1. (2019佛山二模
6、文、理)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9,若m3(m g N*)的分解中最小的数是73,则m 的值为 .解析m3的分解中，最小的数依次为3，7，13，m2 -m +1，由 m2 一 m +1 = 73 得 m = 92. (2019惠州调研二理)函数f (x)由下表定义:x25314若 a = 5， a = f (a )，0n+1nf (x)12345n = 0,1,2, L ，则 a =JL20074.解析a0 = 5 ，a = 2，a2 = 1，a3=4， a4=5,A ,，a = a ， a = a = 4
7、点评：本题为循环型3. (2019深圳调研)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届 北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f (n)个“福娃 迎迎”，则f=；f (n) - f (n -1) =.(答案用数字或n的解析式表 示)解析f (5) = 41, f (n) - f (n -1) = 4(n -1)4. (2019揭阳一模)设 f (x) = cos x, f (x) = f (x), f (x) = f (x),L , f (x) = f (x), n g N*, 01021n+1n则 f(x)=()2008A. -
8、 sin x b. - cos xc. sin x d. cos x解析f (x) = cos x，f (x) = - sin x，f (x) = - cos x，f (x) = sin x，f (x) = cos x，01234f (x) = f (x)，f(x) = f (x) = cos xn + 4n20080题型2用类比推理猜想新的命题1例1 (2019韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是.【解题思路】从方法的类比入手1 , C 11 , 一、，、解析原问题的解法为等面积法，即s = 3ah = 3*5ar n r = Rh，类比问题
9、的解法应为 JJ。1111等体积法，V = 3Sh = 4x；Sr n r = h即正四面体的内切球的半径是高顶3344【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类 比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等例2 在AABC中，若/C = 900，则cos2 A + cos2 B = 1,用类比的方法猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何 类比到空间解析由平面类比到空间,有如下猜想：“在三棱锥P- ABC中，三个
10、侧面PAB,PBC,PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为以,P，丫，则cos2 a+ cos2 P + cos2 y= 1 ”证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO = h由 PC 1 PA,PC 1 PB 得PC 1 WPAB，从而PC PM，又 /PMC =a,cos 以 cos P cos y、，. （+）h = 1 即 cos2 a + cos2 P + cos2 y = 1PC PA PB【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体 积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对 应线
11、面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等新题导练5. （2019深圳二模文）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平/面内有两个边长都是。的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，厂则这两个正方形重叠部分的面积恒为0- 类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 3解析解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为亏86. （2019梅州一模）已知AABC的三边长为a, b, c，内切圆半径为r （用S AB。表示 AABC的面积），则S A。= r （a + b + c）；类比这一结论有：若三棱锥A- BCD的内切球半径为R，
12、则三棱锥体积U=A-BCD解析3 R（ SAABC + Sbd + S AACD + S 心7. （2019届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax + By + C = 0，圆心在（,y0）的圆的一般方程为（x- x0）2 + （y - y0）2 = r2 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为,球心在（x0, y0,z0）的球的一般方程为.解析Ax + By + Cz + D = 0 ； （x - x ）2 + （y 一 y ）2 + （z 一 z ）2 = r20008.对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数a ,b ,c和a ,b
13、,c都是非零实数，方 111222程a x2 + b x + c = 0和a x2 + b x + c = 0在复数集上的解集分别是A和B，贝111222“幻=尸=匕”是“ A = B ”的充分必要条件.a b c试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明.解：（3）如果系数a ,b ,c和a ,b ,c都是非零实数，不等式a x2 + b x + c 0和111222111ax 2 + b x + c 0的解集分别是A和B，则“电=尸=匕”是“A = B ”的既不充分 222a b c也不必要条件.可以举反例加以说明.2229. 已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的差都为同 一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差.类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；已知数列a 是等和数列，且。=2，公和为5，那么。18的值为.这个数列的前n项和Sn的计算公式为.解析在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和5n 1.-,n为奇数数列，这个常数叫做该数列的公和；匕8=3 ； S = 5Iy =亍为偶数考点2演绎推理题型:利用“三段论”进行推理例1 （07启东中学模
