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1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(17-54):圆与曲线相切(472) 1207 圆与曲线相切 母题(17-54):(原创题)若圆与二次曲线有交点,则圆与二次曲线相切的充要条件是在交点处有相同的切线.解析:以抛物线C:y2=2px(p0)为例:设交点P(,t),圆心M(a,b),则圆M:(x-a)2+(y-b)2=(-a)2+(t-b)2;所以,圆M与抛物线C切线恰有一解x=,y=t(-a)2+(y-b)2=(-a)2+(t-b)2有重根y1=y2=t(利用综合除法)+(y-t)(y+t-2b)=0恰有
2、重根y1=y2=t(y+t)(y2+t2-4pa)+4p2(y+t-2b)=0在根y=tb=kMP=-圆M在P处的切线斜率k圆=(易知抛物线C在P处的切线斜率=)在交点处有相同的切线.同理可证其它.点评:圆与二次曲线相切可类似于直线与曲线相切的定义:设直线AP与曲线C交于A、P两点,A是定点、P是动点,当动点P沿着曲线C无限接近A时,直线AP的极限位置AT叫做曲线C在A处的切线,切点A是切线与曲线C的两重合的交点,即切线方程代入曲线C方程所得一元方程有两重根;所以,圆与二次曲线相切圆的方程与二次曲线方程联立的方程组有两重解,由此可领悟本母题;圆与二次曲线相切在教材中没有涉及,但高考中早已出现,
3、如1980年全国(付)高考试题.这是我们构造该母题的直接动因之一;动因之二是她可拓展到两曲线相切: 两曲线相切的定义:曲线C1与C2有公共点,且在该点处的切线相同,则称曲线C1与C2在该点处相切. 两曲线相切定理:曲线C1:y=f(x)与C2:y=g(x)相切于点P(x0,y0); 子题(1):(2011年重庆高考试题)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所组成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为 .解析:如图,若圆C的半径取到最大值,则圆C与抛物线y2=2x、直线x=3同时相切,设切点A(2a2,2a),圆心C(c,0)(0c3),则抛物线在A处的切线斜率k=1/2a,由
4、抛物线与圆C在点A处有相同的切线圆C在点A处的切线斜率k=1/2a;又由kkCA=-1c=2a2+1;由圆C的半径r=3-c=|CA|(3-c)2=(2a2-c)2+(2a)28-6c+c24a28-6c+c2=2(c-1)c=4-r=3-c=-1. 注:本题是封闭区域内所能含的圆的最大半径问题在高考中出现的第一题,由几何直观知,当且仅当圆与区域的某些边界相切时,圆的半径取到最大值;所以,该类问题或转化为圆与直线相切,或转化为圆与曲线相切. 子题(2):(2011年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)在区域中,所能含的圆的最大半径为 .解析:若圆M的半径取到最大值,则圆M与y轴及椭圆C:+y2=
5、1同时相切,设切点P(3cos,sin)(0),圆心M(m,0)(0m0),则抛物线在A处的切线斜率k=2a圆P在A处的切线斜率k=2a;由kkPA=-12(a2-6)=-1a=A(,)r=|PA|=最短距离是. 注:由本题可领悟到母题具有更广泛的应用空间,在下面的子题中我们将看到她精致的应用,她不仅在解决解析几何中的最值问题上呈现其独到的作用,还在函数不等式的证明上有其特具的魅力,甚至在构造函数不等式和数列问题上都有优秀的表现. 子题系列:1.(2013年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x0)图象上一动点,若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实
6、数a的所有值为 .2.(2013上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)如图,已知椭圆C:+y2=1和O:x2+y2=1,在椭圆内,且在O外的区域内(包括边界)所含圆的最大半径是 .3.(2012年大纲高考试题)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-)2=r2(r0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l. ()求r; ()设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离.4.(1990年全国高考试题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=.己知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点的距离等于的点
7、的坐标.5.(2006年全国高考试题)设P是椭圆=1(a1)短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.6.(2005年上海高考试题)如图,点A、B分别是椭圆=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF.()求点P的坐标;()设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.7.(2003年新课程高考试题)己知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直线l同时是C1与C2的切线,称l是C1与C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.()a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公
8、切线？写出此切点方程;()若C1与C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.8.(2007年湖北高考试题)已知定义在正实数系上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0,设曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.()用a表示b,并求b的最大值; ()求证f(x)g(x)(x0).9.(2005年广州市第二次质量检测试题)己知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为m,n),且1mn2. 母题(17-54):圆与曲线相切(472) 1209 ()讨论函数f(x)的单调性;()证明:对任意x1、x2m,n),不等式|f(x1)-f(x2)
9、|1恒成立.10.(2005年浙江高考试题)设点An(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn: y=x2+anx+bn(nN*),其中an=-2-4n-,xn由以下方法得到:x1=1,点P(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,点Pn+1(xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点An(xn,0)到Cn的距离是An到Cn上点的最短距离.()求x2及C1的方程;()证明:xn是等差数列. 子题详解:1.解:由点A在直线y=x上,以点A为圆心,2为半径作圆A:(x-a)2+(y-a)2=8,由图知,当且仅
10、当圆A与函数图象相切于时,|AP|最小,由直线y=x与函数图象的交点M(1,1);当a1时,由y=与(x-a)2+(y-a)2=8得:(x2+)-2a(x+)+2a2-8=0,令x+=t,则t2,且t2-2at+2a2-10=0有等根4a2-4(2a2-10)=0a=.2.解:设半径最大的圆:(x-1-r)2+y2=r2,代入+y2=1得:(1-)x2-2(1+r)x+2(1+r)=0;令=4(1+r)2-8(1-)(1+r)=0r=.3.解:()设A(a,(a+1)2),则抛物线C在A处的切线斜率k=2(a+1)圆M在A处的切线斜率k=2(a+1);由kkMA=-1(其中M为圆心(1,)a=
11、0r=;()切线l:y=2x+1,D(2,-1)d=.4.解:设椭圆C:+=1(ab0),由e=a=2b;以点P(0,)为圆心,为半径作圆P,使得圆P与椭圆C相切于点A(2bcos,bsin),则椭圆C在A处的切线斜率k=-cot圆P在A处的切线斜率k=-cot;由kkPA=-1-cot=-1bsin=-;又由|PA|2=74b2cos2+(bsin-)2=74b2cos2=34b2-4b2sin2=3b=1a=2椭圆C:+y2=1.5.解:不妨设P(0,1),以点P(0,1)为圆心,r为半径作圆P,使得圆P与椭圆C相切于点Q(acos,sin),则椭圆C在Q处的切线斜率k=-cot圆P在Q处
12、的切线斜率k=-cot;由kkPA=-1-cot=-1(1-a2)sin=1;又由r=|PQ|max=.6.解:()由已知可得点A(-6,0),F(4,0);设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y),由PAPF=0(x+6)(x-4)+y2=0(x+6)(x-4)+20-20=02x2+9x-18=0(-6x6)x=y=P(,);()由直线AP的方程是x-y+6=0,设点M(m,0)(-6m6),则M到直线AP的距离是;由M到直线AP的距离等于 1210 母题(17-54):圆与曲线相切(472) |MB|=|m-6|m=2M(2,0); 以点M(2,0)为圆心,r为半径作圆M,
13、使得圆M与椭圆C相切于点A(6cos,2sin),则椭圆在A处的切线斜率k=-cot圆M在A处的切线斜率k=-cot;由kkMA=-1-cotcos=r=|MA|=椭圆上的点到点M的距离d的最小值=.7.解:()因曲线C1在点P(t,t2+2t)处的切线方程为y=(2t+2)x-t2;曲线C2在点Q(s,-s2+a)处的切线方程为y=-2sx+s2+a,由题知两切线重合,所以,2t2+2t+1+a=0.又因C1和C2有且仅有一条公切线,所以方程2t2+2t+1+a=0有一重根a=,此时公切线方程为y=x;()由()知,当a时,C1与C2有两条公切线,且每条公切线段的中点为(,),即(,),因此公切线段互相平分.8.解:()设公共点为(x0y0),由
