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1、三角函数最值问题的综述会泽县实验高级中学 赵正向摘 要：三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现，本文将从六个方面加以归纳总结，和简单推广。关键词：三角函数、最值、做法三角函数是高中数学必修课中的几大内容之一，其内容除了具有独特性质外，它也具有普通函数的性质外，它也具有普通函数的性质，如函数的最值。在近几年高考中，三角函数的化简求值，特别是在闭区间的最值已成为高考中的一个命题热点。解答这类问题需要灵活运用三角公式进行三角变换，需要熟练的恒等变形能力，也需要对几种题型进行研究和总结，我通过长期的教学实践，对三角函数的最值求法进行归纳总结和推广，大致有以下几种：1、
2、型的函数做法：此类函数可化利用函数的有界性求解，因令则即（可由、或求出）例1、（1998年上海高考题）若函数的最小值为1，则分析： 解得例2、函数，求的周期与最大值。分析： 这里，所以，最大值为9。反思与总结：例1、例2是近年高考中常出现的题型，仅在设问上有所变化，解法有多个三角名为单一三角名，用辅助角变换“化二为一”。2、型的函数做法：转为（11）的二次函数求解。例3、（1997年全国高考题）函数最小值为（ ）（A）2 （B）0 （C） （D）6分析： 故选（B）例4、若 ，求函数的值域。分析：将化成的二次函数，转化求关于的值域。由则 令，因为，所以，0，即：，所以，总结：用角的变换“化二为
3、一”，化为关于的二次函数后，令，则问题转化为闭区间上的二次函数的值域问题。3、型的函数做法：先利用降幂公式降次整理，再化成类型1和和类型2求解。例5、（2000年全国高考题）已知函数，当函数取得最大值时，求自变量的集合。分析： 取得最大值的条件是：当自变量满足时，4、型的函数0PTQyx做法：利用万能公式转化为二次函数型或用正弦函数的有界性或利用数形结合法等来求解。比较而言，数形结合法更方便快捷，数形结合，通常是指形的问题用数来解决，或数的问题用形来解决，数形结合的工具是坐标系，通过坐标系来完成与形的转化。数形结合要注意两条原则：第一、等价性原则，也就是数的问题与形的问题相互转化后要等价，不能
4、破坏其等价性；第二、最优化原则，有时数的问题转化为形的问题有多种途径，多种方法，我们应该选择最简单的方法，最佳方案。例6、求的最大与最小值分析：由利用斜率的几何意义可表示为圆上的任一点到定点连线的斜率。则有：设过点P的直线为：即：，则圆心到该直线距离为1，可得：所以所以 故012MA3yx图（2）例7、分式函数的值域可以转化为平面上两点连线斜率的取范围。如图（2）所示设A（2，3），令直线AM斜率为：因为所以总结，如果函数问题用代数方法求解不方便，可以考虑式子的一些几何意义，如斜率，两点间距离等。5、型的函数做法：利用均值不等式求解较为简捷。例8、（1993年全国高考题）在直角三角形中，两锐角
5、为A和B，则（ ）A、有最大值和最小值0 B、有最大值但无最小值C、既无最大值也无最小值 D、有最大值1但无最小值分析：因为，0B，所以0，=所以故选B6、型的函数做法：可直接化成类型2或作变量替换化有关三角表达式函数为基本初等函数问题，利用三角函数的有界性，使问题化归为闭区间上讨论函数性质的问题。注意换无转化是一种常用的转化手段，要弄清转化后变量的取值范围。例9、已知是锐角，求：的最小值分析：原函数化为设（1） 则：则所以例10、求函数的值域分析：式中有两个三角名，可通过角的变换转化为代数式求值域。令，那么， ，求的值域转化为求函数，的值域为故的值域为总之：三角函数最值问题的解法很多，灵活多样，常见的基本解答方法有：一是利用正弦函数的有界性；二是利用二次函数在闭区间内求得最值得方法；三是利用万能公式代换成有理式用判别式法；四是利用基本不等式；五是数形结合法。参考资料：1 近十年高考试题的试卷2 人民教育出版社中学教学室全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修）人民教育出版社3 赵钰林素质教育新教室数学西苑出版社4 张一民中学教学教法研究云南教育出版社5 黄永明亢红道中学数学教学法概论云南大学出版社
