《2021高一数学【新教材】第二册教学设计 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021高一数学【新教材】第二册教学设计 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2.4 向量的数量积 第 2 课时 向量的向量积本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册(人教 A 版)第六章平面向量及 其应用,本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数 量积的运算律,本节课是第二课时,本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区 别,运算结果是一个数量。课程目标A
2、.掌握数量积的运算律;B.利用数量积的运算律进行化简、求值;学科素养1.数学抽象:数量积的运算律;2.逻辑推理:证明数量积的运算律;3.数学运算:运用数量积的运算律求值;1.教学重点:数量积的运算律;2.教学难点:利用数量积的运算律化简、求值。多媒体1教学过程一、复习回顾,温故知新1.向量的数乘的运算律【答案】设 a 、 b 为任意向量, l 、 m 为任意实数,则有:教学设计意图核心素养目标通过复习上节所学知识,引入本节新课。建立知识(1)(2)(ll(ma) =( lm)a+m)a =la +ma间的联系,提高学生概括、类比推理的能力。(3)l(a +b) =la+lb2.平面向量的数量积
3、定义:a b=|a | b | cosq平面向量的数量积的结果是数量。二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究:类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算的运算律,你能得 到数量积运算的哪些运算律?你能证明吗?平面向量数量积的运算律通过探究,让学 生证明,讲解向量数 量积的运算律,提高 学生的解决问题、分2析问题的能力。证明:(1)因为a b=|a | b | cosq,b a=|b | a | cosq所以,a b=b a。(2)当l0时, la与b的夹角、a与b的夹角一样。因为(la) b=|la | b | cosq=l|a | b | cosq=l(ab),a (lb) =|a |lb|
4、 cosq=l|a | b | cosq=l(ab)同理,当l0时,(la)b=l(ab)=a (lb)成立。所以,(la) b=l(ab)=a (lb)。通过思考,总(3)结3= a +2 a b+b( a +b )( a -b ) =a -b; (2)2 22 2思考:设a, b, c是向量,( a b)c=a (bc)一定成立吗?为什么?通过思考,让学生明白 向 量 数 量 积 不 满【答案】( a b)cc表示与一个与 共线的向量,足结合律,提高学生解决问题的能力。而a (bc)a a c表示一个与 共线的向量,但 与 不一定共线。所以( a b)ca (bc)。结论:向量数量积不满足
5、结合律。通过例题进一例 1. 对 任 意a, b R, 恒 有( a +b )2 =a 2 +2 ab +b 2,步巩固向量数量积( a +b )( a -b ) =a 2 -b 2,对任意向量a, b,是否也有下面类似的结的运算律,提高学论?(1)( a +b )22 2 2 2。生运用所学知识解决问题的能力。【解析】(1)(a +b )2=( a +b )( a +b ) =a a+a b+ba+bb=a +2 a b+b(2)(a +b )( a -b ) =a a-a b+ba-bb =a -b例 2.已知 a =6, b =4, 夹角q=60 0, 求(a +2b ) (a -3b)
6、42 22 2 解:原式 =a a-3a b+2b a-6b b=|a |2-a b-6| b |2=|a |2 -| a | b | cos q -6| b |2=6 2 -6 4 cos 60-6 4 2 =-72例 3. 已知| a |=3,| b |=4,且a与b不共线,当 k 为何值时,向量a +kb与a -kb互相垂直?解:a +kb与a -kb互相垂直的充要条件是( a +kb) (a -kb) =0,即a -k 2 b =0,因为a =32=9, b =42=16。所以9 -16 k2=0 ,解得 k =34。也就是说,当k =34时,向量a +kb与a -kb互相垂直。三、达
7、标检测1给出下列判断:若 a2b20,则 ab0;已知 a,b,c 是三个非零向量,若 ab0,则|ac|bc|;a,b 共线ab|a|b|;|a|b|0,则 a 与 b 的夹角为锐角;若 a,b 的夹角为 ,则|b|cos 表示向量通过练习巩固本节b 在向量 a 方向上的投影长其中正确的是:_【解析】 由于 a20,b20,所以,若 a2b20,则 ab0,故 正确;若 ab0,则 ab,又 a,b,c 是三个非零向量,所以 acbc,所以|ac|bc|,正确;a,b 共线ab|a |b|,所以 不正确;对于应有|a|b |ab;对于,应该是 aaa|a|2a;a2b22|a |b |2ab
8、,故正确;5所学知识,通过学生解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识。1当 a 与 b 的夹角为 0 时,也有 ab0,因此错;【答案】 2.若非零向量 a,b 满足|a|3|b|a2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为 _【解】 设 a 与 b 夹角为 ,因为|a|3|b|,所以|a|29|b|2,又|a|a2b|,所以|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b| cos13|b|212|b|2cos,即 9|b|213|b|212|b|2cos,故有 cos .31【答案】 33.已知|a|3,|b|2,向量 a,b 的夹角为 60,c3a5b,dma
9、 3b,求当 m 为何值时,c 与 d 垂直?【解析】 由已知得 ab 32cos 603.由 cd,知 cd 0,即 cd (3a5b) (ma3b)3ma2(5m9)ab 15b 27m3(5m9)6042m870,29 29m ,即 m 时,c 与 d 垂直14 142四、小结1. 理解数量积的定义;2.向量数量积的运算律; 五、作业习题 6.2 11(1),18 题通过总结,让学生 进 一 步 巩 固 本 节 所 学内容,提高概括能 力, 提高学生的数学 运 算 能 力 和 逻 辑 推 理能力。6在整个探求过程中,充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有:(1)教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。(2)教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师讲授,这是个值得思考的问题。(3)教师要点拨到位,在学生出现问题后,教师要及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素质。(4)课堂语言还需要进一步提炼。在教学中,提出的问题,分析引导的话应具体,明确,不能让学生不知道如何回答 ,当然有些问题我也考虑过该如何问 ,只是没有找到更合适的提间方法 ,这 方面的能力有待加强。7