《第1章 13 131 空间直角坐标系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章 13 131 空间直角坐标系（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系学习目标核心素养1. 了解空间直角坐标系的建立过程.2. 掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定.(重点)3. 掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)1. 通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升 学生直观想象的核心素养.2. 通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象 和数学建模的核心素养.情景导学*探新知 透习素呆感加金情境那入-助学助教(1) 数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；M:穿(2) 直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示.Io*(3
2、) 如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢?匚新知初探1. 空间直角坐标系空间直角 坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j, k,以O为原点，分别 以i, j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x轴、y轴、z轴坐标原点点O坐标向量i，j，k坐标平面Oxy平面、坐平面和竺平面右手直角 坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向我正方向，食指指向y轴正 方向，如果中指指向逾正方向，则称坐标系为右手直角坐标系2.空间向量的坐标表示空间直角 坐标系中 A点坐标在空间直角坐标系中，i, j, k为坐标向量，对
3、空间任一点A,对应一个向量OA,且点 A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z), 使OA=xiyjzk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标.记作A(x，y， Z)，其中X叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，互叫做点A的竖坐标在空间直角坐标系中，给定向量。.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使a=xi+yj+zk,则(x, y,日)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a=(x, y，z)I初试身手jZJ1. 思考辨析(正确的打“寸，错误的打“X”)(1) 空间直角坐标系中X轴上点的横坐标尤=0,竖坐标z=0.
4、()(2) 空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z=0.()(3) 关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反.()提示(1)x (2)x (3)寸2. 已知i,j, k是空间直角坐标系O-xyz的坐标向量，并且AB=ijk,则B点的坐标为()A. (1,1,1)B. (i, j，一k)C. (1,1,1)D.不确定D 向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也 不确定.3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若以AB, AD, Atj为基底，则膈石=, AC1 的坐标是.-.-.-.-.-.-AA1+AB+AD(1,1
5、,1)若以AB, AD, AAJ为基底，.AC1=AA1+A1C1=AA1+A1B1+B1C1 =-.-.-AA1+AB+AD-.AC的坐标为(1,1,1). 业更赠整鱼合作探究释疑唯划整枣成k，型1/求空间点的坐标【例1】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，IABI=4, IADI = 3, IAA1I = 5, N为棱CC1的中点， 分别以DA, DC, DD1所在的直线为X轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.(2)求点N的坐标.求点 A, B, C, D, A1，B1，C1，D1 的坐标;思路探究将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标.解(1)显然 D(0,0,0)
6、,因为点A在x轴的正半轴上，且AD = 3,所以 A(3,0,0).同理，可得 C(0,4,0), D1(0,0,5).因为点 B 在坐标平面 xOy 内，BCLCD, BALAD,所以 B(3,4,0).同理，可得 A1(3,0,5), C1(0,4,5), 与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，BB1 = 1 = 5，则B1(3,4,5).(2)由(1)知 C(0,4,0), C1(0,4,5),则C1C的中点N为仰+0 4+4 0+5)，2，Tj即 N。，4,2)坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点规律方法x轴上(x,0,0)xOy平面上(x, y,0)y轴上(0, y,0)yOz
7、平面上(0, y, z)z轴上(0,0, z)xOz平面上(x,0, z)坐标原点(0,0,0)跟进训练.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别是BB, D1B1的中点，棱长为1,建立如图所示的空 间直角坐标系，则E, F的坐标分别为.答案1,中,、类型求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P( 2,1,4).(1) 求点P关于x轴的对称点的坐标；(2) 求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3) 求点P关于点M(2,1,4)的对称点的坐标.思路探究求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作 线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标.解(
8、1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反 数，所以对称点为P1(-2,-1,-4).(2) 由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P2(-2,1,-4).(3) 设对称点为P3(x, y,乙)，则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式，可得x=2x2 (-2) =6, y=2x( -1) -1 = -3, z=2x(-4)-4=-12，所以 P3(6,-3,-12).厂规律方法 七1. 求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反.”在空间直角坐标系中，任一点P(a,
9、b, c)的几种特殊的对称点的坐标如下:对称轴或对称中心对称点坐标P(a , b, c)x轴(a, b , c)y轴(a , b, c)z轴(a , b , c)xOy平面(a , b, c)yOz平面(a , b, c)xOz平面(a , b , c)坐标原点(a , b , c)2.在空间直角坐标系中，若A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2),则线段AB的中点坐标为x1 +x2 y】+y,小2 ，2 ，2跟进训练2. 点P(3,2, 1)关于平面xOz的对称点是,关于z轴的对称点是,关于M(1,2,1)的对称点是(一3, 2, 1) (3, 2, 1) (5,2,3)
10、点 P(3,2, 1)关于平面 xOz 的对称点是(一3, 2,1)，关于z轴的对称点是(3,2,1).设点P(3,2,1)关于M(1,2,1)的对称点为(x, y, z).x3=1士=222W=1x=5解得y=21=3.故点P(-3,2-1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3).类型3空间向量的坐标表示探究问题1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知 ABC的边长为1 直角坐标系？三棱柱的高为2,如何建立适当的空间提示分别取BC, B1C1的中点D, D1,以D为原点，分别以DC, DA, DD/勺方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.B D2.若AB =
11、 (a, b, c),则BA的坐标是多少?提示BA = (a,b,c).【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面 ABC中，CA= CB=1, ZBCA = 90,棱AA = 2, M, N分别为A1B1, A0的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN,虱，AB的坐标.Gi思路探究以点C为原点，分别以CA, cB, CC的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间 直角坐标系，然后，把BN, BA1，麝分别用CA，CB, CC表示出来，再写出它们的坐标.解 法一：由题意知CqAC, CC1BC, ACBC,以点C为原点，分别以CA, CB, CC1 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间
12、直角坐标系C-xyz，如图所示.-1-.-.1 -.BN=AN-AB2CC1 + CACB = CACBCC,.BN&0坐标为(1,1,1),一 一 一 一 一.一而 BA1 = CA1-CB = CA-CB+CC1,-.BA的坐标为(1,1,2).又VA1B=-BA1, A1B的坐标为(一1,1,2).N(1,0,1),法二：建系同法一，贝寸 B(0,1,0), A(1,0,0), A1(1,0,2)BN=(1,1,1), BA = (1,1,2), AB = (1,1,2).母题探究变条件本例中，若把条件AA = 2”改为“AA = 1”，结果怎样？解建系方式与例题相同，建系，BN=CaC
13、b+1Cc1,因为CA, cB, Cc1为单位正交基底，BN=,-1,2) 又 BA=CA CB+CCV .BA1 = (1,1,1).-所以 A1B=BA1 = (1,1,1).广“az , , r用坐标表示空间向量的步骤3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, E, F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间 直角坐标系._(1)写出各顶点的坐标;(2)写出向量品，毋，硅的坐标.解(1)由题图知 A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), D(0, 0,0), A1(2,0,2),鸟(2,2,2), C1(0,2,2), D1(0,0,2), (2)因为E,
14、 F分别为棱BB1, DC的中点， 由中点坐标公式，得E(2,2,1), F(0,1,0).所以eF=(2,1,1), B1F=(2,1,一2), AE=(0,2,1)._迷财*主奁*一堂小结。提素? 一笙卷宜茸至匿匚三必备素养1.在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R,其它为零；在谁的平面上，谁属于R,其它为零.”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数.”2. 空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所 求向量的坐标.I学以敦用1. 设点户（1,1,1）关于xOy平面的对称点为打，则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是（）A. （1,1，
