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1、立体证明题(2)1如图，直二面角 D- AB- E中，四边形 ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且 BF丄平面ACE(1) 求证：AE丄平面BCE(2) 求二面角 B-AC- E的余弦值.2等腰 ABC中, AC=BC=匚，AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将 EFC沿EF折起，使 得C到P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP=W.(1) 求证：平面 EFP1平面 ABFE(2) 求二面角 B-AP- E的大小.3如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面是正方形，侧面PA=PD=2AD,若E、F分别为PC BD的中点.(I) 求证：EF/平面PADPADL底面ABCD且(
2、n) 求证:CEF丄平面PDC4如图：正 ABC与Rt BCD所在平面互相垂直，且/BCD=90,Z CBD=30(1) 求证：AB丄CD(2) 求二面角 D- AB- C的正切值.ABCD(1)求证：平面 PADL平面 PBD5如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面PADL平面ABCD PAD是等边三角形，四边形是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD6如图，在直三棱柱 ABC- AiBQ 中，/ ACB=90, AC=CB=CC2, E是 AB中点.(I)求证：AB丄平面AiCE(H)求直线 AG与平面AiCE所成角的正弦值.8如图，在四棱锥7如图，在四棱锥 P- ABCD中,
3、PA丄平面 ABCD / DAB为直角，AB/ CD, AD=CD=2AB=2E, F分别为PC, CD的中点.(I)证明：AB丄平面BEF;(H)若 PA=，求二面角 E- BD- C.5P-ABCD 中，PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2，四边形 ABCD 满足AB 丄 AD , BC / AD 且 BC=4，点 M 为 PC 中点.(1)求证:DM丄平面PBC ；be2余弦值为-?若存在，求出实数3入的值；若不存在，请说明理由.(2)若点E为BC边上的动点，且一一=-，是否存在实数 人使得二面角 P- DE - B的 EC9如图，ABED是长方形，平面 ABEDL平面 ABC
4、 AB=AC=5 BC=BE=6且 M是BC的中点(I) 求证：AML平面BEC(H) 求三棱锥B- ACE的体积；(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面 QECL平面BEC求线段AQ的长.10.如图，直角梯形 ABCD与等腰直角三角形AB=2CD=2B, EAL EB(1) 求证：EAL平面EBC(2) 求二面角 C- BE- D的余弦值.ABE所在的平面互相垂直,AB/ CD, AB丄 BC,11.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD/ BC, / ADC=90,平面PADL底面ABCD O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC(1)求证：平面 POBL平面
5、 PAD12.如图，三棱柱 ABC- ABC中，侧棱AA丄平面ABC ABC为等腰直角三角形，/BAC=90，且 AB=AA, E、F 分别是 CC, BC的中点.(1)求证：平面 ABF丄平面 AEF;(2 )求二面角 B1- AE- F的余弦值.13.如图，在菱形 ABCD中，/ ABC=60, AC与BD相交于点 Q AE丄平面ABCD CF/ AE,AB=AE=2(I )求证：BD丄平面ACFE(II )当直线FQ与平面BDE所成的角为45时，求二面角 B- EF- D的余弦角.14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE- BCF和一个正四棱锥 P- ABCD组合而成,ADL AF
6、, AE=AD=2(1)证明：平面 PADL平面 ABFE(2)求正四棱锥 P- ABCD的高h，使得二面角 C- AF- P的余弦值是 213AC的中点D,且BALAG./ BCA=90, AC=BC=2 A在底面ABC上的射影恰为(I)求证：AC丄平面AiBC;(H)求二面角 A- AiB- C的平面角的余弦值.试卷答案在 Rt BFG中,_GF 血 二GBp 二 31.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）由已知中直二面角 D- AB- E中，四边形 ABCD是正方形，且 BF丄平面ACE 我们可以证得 BF丄AE CB丄AE进而由线面垂直的判定定理可
7、得AE!平面BCE（2）连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角 的平面角的定义，可得/ BGF是二面角B- AC- E的平面角，解 Rt BFG即可得到答案.【解答】证明：（1）v BF丄平面ACE BF 丄 AE二面角 D- AB- E为直二面角，且 CBL AB, CB丄平面ABE CB丄AE AE丄平面BCE解：（2）连接BD与AC交于G连接FG设正方形 ABCD勺边长为2, BG丄 AC, BG= 一，/ BF垂直于平面 ACE由三垂线定理逆定理得 FGL AC Z BGF是二面角 B- AC- E的平面角由（1） AE!平面 BCE 得 AE!
8、 EB,/ AE=EB BE=在 Rt BCE中 ,.”匚=,由等面积法求得二-I,EC V 63则nW -汀故二面角B- AC- E的余弦值为2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )用分析法找思路，用综合法证明取EF中点0,连接OR OC等腰三角形CEF中有COL EF,即卩ORL EF.根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF,且POL EF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE(2)根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AE
9、R的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.【解答】解：(1)证明：在厶ABC中，D为AB中点，0为EF中点.由 AC=BC=7, AB=2 E、F分别为AC BC的中点， EF 为中位线，得 C0=0D=1 COL EF四棱锥 P ABFE中，POL EF,2分OC丄 AB, AD=OD=1 AO= 了 ,又 AP= T, OP=1,四棱锥 P- ABFE中，有AFaO+oP,即卩OPL AQ4分又 AOH EF=Q EF、AO?平面 ABFE OP丄平面ABFE5分又OF?平面EFP,平面 EFP!平面 ABFE6分(2 )由(1)知OD OF, OP两两垂直，以 0为原点
10、，建立空间直角坐标系(如图)：则 A (1 , - 1 , 0), B ( 1,1, 0), E ( 0,： , 0), P (0, 0, 1 )-7 分设二(斗y, ,二=(，?干)分别为平面aep平面abp的一个法向量，EA I ir x尸 0则，竺丄二？ *盯取x=1，得y=2 , z= - 1PA丄 IT | S - y - z=0二 T 9分同理可得一丄：.!.；，11分由于：|-：-. I I : - - I =0,所以二面角 B- AP- E为90.12分【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】对于（I）,要证EF/平面PAD只需证明EF平行于平面PAD内
11、的一条直线即可，而E、F分别为PC BD的中点，所以连接 AC, EF为中位线，从而得证；对于（H）要证明 EF丄平面PDQ由第一问的结论， EF/ PA只需证PA!平面PDC即可, 已知PA=PD= ：AD,可得PA丄PD,只需再证明 PA丄CD而这需要再证明 CDL平面2PAD由于ABCD是正方形，面 PADL底面ABCD由面面垂直的性质可以证明，从而得证.【解答】证明：（1）连接 AC则F是AC的中点，在 CPA中，EF/ PA （ 3分） 且PA?平面PAD EF?平面PAD EF/平面 PAD（ 6 分）（H）因为平面 PADL平面 ABCD平面 PADT平面 ABCD=AD又CDL
12、 AD所以 CDL平面 PAD CD丄 PA （9 分）又 PA=PD=AD,2所以 PAD是等腰直角三角形，且/ APD=_,即PA丄PD（ 12分）而 CDA PD=D PA丄平面PDC 又EF/ PA 所以EF丄平面 PDC（ 14 分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注 意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时, 往往还要通过线面垂直来进行.4.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】（1 ）利用平面 ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC可得DCL平面ABC利 用
13、线面垂直的性质，可得 DCL AB;（2）过C作CE! AB于E ,连接ED,可证/ CED是二面角D- AB- C的平面角.设 CD=a则BC =3g 从而 EC=BCsin60 二可,在 Rt DEC中，可求 tan / DECtanJUz【解答】（1）证明：T DCL BC,且平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC DC丄平面ABC又AB?平面ABC DCL AB.（2）解：过 C作CEL AB于E ,连接ED,/ AB丄 CD AB丄 EC, CDH EC=C AB丄平面ECD又 DE?平面 ECD - AB丄 ED,/ CED是二面角 D- AB- C的平面角,设 CD=a
14、 则 BC=DC _ a _2在 Rt DEC中 , tan / DEC= .【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】（1 ）令AD=1,求出BD=,从而AD BD,进而BD丄平面PAD由此能证明平面PADL平面 PBD（2 ）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD的直线为z轴，建 立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A- PB- C的余弦值.【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中 ,令AD=1,则 BD= . ； =,在厶 ABD中,AD+Bj=AB, AD丄 BD又平面PADL平面ABCD BD丄平面PAD BD?平面PBD平面PADL平面PBD解：（2）由（1）得AD丄BD,以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令 AD=1,则 A （1, 0 , 0） , B （0 ,二,0） , C （- 1 ,二,0） , P（., 0,送、,(-1, = 0),
