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1、四川省成都市第七中学高一下学期期末考试数学试题一、 选择题1已知等差数列的前项和为,若,则( )A. 18 B. 36 C. 54 D. 722已知点的坐标满足条件,则的最大值为( )A. B. 8 C. 10 D. 163已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式( )A. B. C. D. 4如图,则( ) A. 90 B. 60 C. 45 D. 305若直线与直线互相垂直,则的值为( )A. 1 B. -1 C. D. 6若的内角的对边分别为,且,则等于( )A. B. C. D. 7直线与连接的线段相交,则的取值范围是( )A. B. C. D. 8已知某几何体的三视图中,正视图、
2、侧视图均由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆与其内接直角三角形构成,如图所示,根据图中的数据可得几何体的体积为( )A. B. C. D. 9的值是( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 210设,则有( )A. B. C. D. 11若,则的值可以为( )A. 或1 B. C. D. 12如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,则下列结论中错误的是( )A. B. 平面C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线所成的角为定值二、 填空题13如图,正方体中,直线与所成角大小为_14过点且与原点的距离为1的直线共有_条.15已知关于的不等式的解集为,则_16数列满足, ,写出数列的通项公式
3、_三、解答题17已知直线,直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点.(1)记的面积为,求的最小值并求此时直线的方程;(2)直线过定点,求的最小值.18如图所示,在直三棱柱中, ,点是的中点.(1)在棱上找一点,当在何处时可使平面平面,并证明你的结论;(2)求二面角大小的正切值.19如图,已知矩形所在的平面, 分别为的中点, .(1)求证: 平面;(2)求与面所成角大小的正弦值;(3)求证: 面.20已知,函数, 的内角所对的边长分别为.(1)若,求的面积;(2)若,求的值.21设的内角所对的边长分别为,且.(1)求的值;(2)若,求的最大值.22已知数列满足.(1)设,求数列的通项公式;(2)求数列
4、的前项和;(3)记,求数列的前项和.四川省成都市第七中学高一下学期期末考试数学试题一、选择题1已知等差数列的前项和为,若,则( )A. 18 B. 36 C. 54 D. 72【答案】D【解析】试题分析: .【考点】等差数列的基本性质2已知点的坐标满足条件,则的最大值为( )A. B. 8 C. 10 D. 16【答案】C【解析】可行域如图, 表示可行域内点到原点距离的平方,所以的最大值为 ,选C.点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确
5、定目标函数最值取法、值域范围.3已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得 ,由得 ,所以 ,选A.4如图,则( ) A. 90 B. 60 C. 45 D. 30【答案】B【解析】由三余弦定理得 选B.5若直线与直线互相垂直,则的值为( )A. 1 B. -1 C. D. 【答案】C【解析】由两直线垂直充要条件得: ,选C.6若的内角的对边分别为,且,则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:针对利用正弦定理边角互化可得,即,所以,所以.【考点】本小题主要考查解三角形,正弦定理、余弦定理.7直线与连接的线段相交,则的
6、取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得在直线上或异侧,所以 ,选D.8已知某几何体的三视图中,正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆与其内接直角三角形构成,如图所示,根据图中的数据可得几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:该几何体是一个半球和一个三棱锥,故体积为.【考点】三视图9的值是( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】 ,选D.点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其
7、手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.10设,则有( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,选A.11若,则的值可以为( )A. 或1 B. C. D. 【答案】A【解析】 ,选A.点睛:三角函数求值的三种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;变换待
8、求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.12如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,则下列结论中错误的是( )A. B. 平面C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析:因为在正方体中, 面面,故A正确;因为平面平面, 平面,所以面,故B正确;因为的面积为定值又面, 为棱锥的高,所以三棱锥的体积为定值,故C正确;因为利用图形设异面直线所成的角为,当与重合;当与重合时,所以异面直线所成的角不是定值,故D错误;故选D【考点】棱柱的结构特征二、填空题13如图
9、,正方体中,直线与所成角大小为_【答案】【解析】因为 ,所以直线与所成角为 因为 ,所以,即直线与所成角大小为14过点且与原点的距离为1的直线共有_条.【答案】2【解析】显然过点且与原点的距离为1;再设 ,由 ,所以满足条件的直线有两条 15已知关于的不等式的解集为,则_【答案】-2【解析】 为方程两根,因此 16数列满足, ,写出数列的通项公式_【答案】【解析】因为,所以,两式相减得,即,又,所以,因此点睛:给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情
10、况能否整合在一起.三、解答题17已知直线,直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点.(1)记的面积为,求的最小值并求此时直线的方程;(2)直线过定点,求的最小值.【答案】(1)最小值为4,直线方程为(2)4【解析】试题分析:(1)分别求出直线与坐标轴的交点,根据直角三角形面积公式可得,再根据基本不等式求最值,并确定的值,即得直线的方程;(2)利用向量数量积得,再根据基本不等式求最值试题解析:解:由题意,分别令, 解得 且.(1)时,当且仅当时取等.所以的最小值为4,此时直线的方程为.(2)易得, ,当且仅当时取到, 的最小值为4.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.18如图所示,在直三棱柱中, ,点是的中点.(1)在棱上找一点,当在何处时可使平面平面,并证明你的结论;(2)求二面角大小的正切值.