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1、名校精品资料数学12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(Xai)pi(i1,2，)(1)均值EXa1p1a2p2xrpr，EX刻画的是X取值的“中心位置”(2)方差DXE(XEX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度2 二项分布的均值、方差若XB(n，p)，则EX_np_，DXnp(1p)3 正态分布(1)XN(，2)，表示X服从参数为和2的正态分布(2)正态分布密度函数的性质函数图像关于直线x对称；(0)的大小决定图像的“胖”“瘦”；P(X)68.3%；P(2X2)95.4%；P(3Xc1)P(X
2、c1)，则c等于()A1 B2 C3 D4答案B解析2，由正态分布的定义知其图像关于直线x2对称，于是2，c2.4 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则DX_.答案解析由题意知取到次品的概率为，XB(3，)，DX3(1).5 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是_答案0.7解析EX10.700.30.7.题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3
3、，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E，D，求abc.思维启迪首先列出随机变量的所有可能的取值，然后计算的每个取值的概率解(1)由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E，D222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方
4、差公式进行计算(2)注意性质的应用：若随机变量X的期望为EX，则对应随机变量aXb的期望是aEXb，方差为a2DX.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E1，D11，试求a，b的值解(1)的分布列为01234PE012341.5.D(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由Da2D，得a22.7511，即a2.又EaEb，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或题型二二项分布的均值、方差例
5、2(2012四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的分布列及数学期望E.思维启迪利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由题意，得P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3.所以，随机变量的分布列为0123P故随机变量的数学期望E0123.(或B(3，)，E3.)思维升华求随机变量X的期望与方差时
6、，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式EXnp；DXnp(1p)求解，可大大减少计算量假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，XB(4,0.5)，P(X0)C()4，P(X1)C()4，P(X2)C()4，P(X3)C()4，P(X4)C()4，X的
7、分布列为X01234P(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y3)P(X3)，P(Y4)1P(Y3)，Y的期望值EY34.题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在8085分的有17人试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人思维启迪本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间(，)，(2，2)，(3，3)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用解依题意，由8085分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数成绩服从正态分布N(80,52)
8、，80，5，75，85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85)内的同学占全班同学的68.3%34.15%.设该班有x名同学，则x34.15%17，解得x50.又2801070，2801090，成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.4%.成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.7%.成绩在90分以上的同学占全班同学的50%47.7%2.3%.即有502.3%1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人思维升华解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x，只有在标准
9、正态分布下对称轴才为x0.在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(100,100)，已知满分为150分(1)试求考试成绩位于区间(80,120)内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数解(1)由N(100,100)知100，10.P(80120)P(1002010020)0.954，即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954.(2)P(90110)P(1001010010)0.683，P(110)(10.683)0.158 5，P(90)0.6830.158 50.841 5.及格人数为2 0000.841 51 683(
10、人)离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；(3)设P2，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次设表示摸出红球的总次数，求的分布列和均值思维启迪(1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，关键是求的所有可能
11、值及每个值所对应的概率规范解答解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x104.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值为0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C2，P(3)2.8分所以的分布列为0123P10分所以E0123.12分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值第二步：求每一个可能值所对应的概率第三步：列出离散型随机变量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.方法与技巧1 均值与方差的常用性质掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aEb；E()EE；D(ab)a2D；(2)若B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)2 基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知
