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1、（新教材）北师大版精品数学资料第四章因式分解1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程,体会因式分解的意义,发展运算能力.2.能用提公因式法和公式法分解因式.认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系.1.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及语言表达能力.2.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.因式分解是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础.学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础.本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解?怎样进行因式分解?对于第二个
2、问题,只学习提公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)这两种方法.本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义,发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系.为此,教科书通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性,继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会因式分解的意义和因式分解的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程,体会几何直观的作用;通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识.具体地,本章设计了3节内容.第1节“因式分解”,先利用993-99的例子突出与因
3、数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系.第2节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说,难点是怎样在多项式的各项中发现公因式,为此,教科书让学生从简单的多项式ab+bc的各项中发现相同因式入手,由浅入深地体会如何寻找公因式,并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项,形成基本技能.第3节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此,教科书将这两个公式编成两课时,分
4、开教学.需要说明的是,根据标准的要求,本章教科书介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式).教学中应把握好这一要求,不要刻意提高要求、增加难度,另外,教科书通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注了学生知识技能的掌握和不同层次学生的需求.【重点】1.探索分解因式的方法.2.会用提公因式法把多项式分解因式.3.会用公式法把多项式分解因式.【难点】1.因式分解的概念的理解.2.确定多项式的公因式.3.确定合适的方法分解因式.1.要引导学生多角度理解因式分解的意义.(1)类比因数分解理解因式分解.通过类比数式993-99的分解过程,帮助学生认识多项式a3-a的分解.(
5、2)通过拼图帮助理解因式分解.通过拼图前后图形的面积不变,可以形象地解释多项式x2+2x+1变形为(x+1)2的合理性,以直观形象的方式,促进学生对因式分解的理解.教师要引导学生用自己的语言说明变形过程. (3)对比整式乘法加深理解因式分解.通过对整式乘法运算与因式分解的对比,充分感受两者之间互为逆过程的关系.2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.对于因式分解概念的教学,要让学生通过观察、对比整式乘法运算与因式分解,归纳概括出整式乘法运算与因式分解互为逆过程的关系.在学生经历探索因式分解方法的过程中,更要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.探索因式分解的方法,事实上是对整式
6、乘法运算的再认识.在教学中,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富的问题情境,留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出因式分解的方法.3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯.因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系.在因式分解概念的教学中,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的过程中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法分解因式与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系,领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可
7、用整式乘法或乘法公式来检验”,从而培养学生的逆向思维.4.保证基本的运算技能,避免复杂的题型训练.运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标.由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中还可以继续巩固,因此教学中要依据教科书的要求,适当地分阶段进行必要的训练,使学生在具备基本运算技能的同时,能够明白每一步的算理.教学中要避免过于烦琐的运算,不要过分追求题目的数量和难度.另外,本章只要求在有理数范围内因式分解,教学要遵循标准和教科书的要求.1因式分解1课时2提公因式法2课时3公式法2课时回顾与思考1课时1因式分解1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.2.认识因式
8、分解与整式乘法的关系互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.1.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.2.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【重点】因式分解的概念.【难点】理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关整式乘法的知识.导入一:【问题】简便运算.(1)73695+7
9、365;(2)-2.67132+252.67+72.67.设计意图观察实例,分析两个问题的共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础.导入二:【问题】(1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.因为993-99=99992-991=99(992-1),所以993-99能被99整除.(2)
10、993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.小明是这样做的:993-99=99992-991=99(992-1)=999800=9998100,所以993-99能被100整除.设计意图以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.一、因式分解的概念思路一过渡语(针对导入二)前面问题中解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式
11、.如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?用a表示任意一个常数,则:a3-a=aa2-a1=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)=(a-1)a(a+1).(1)你能理解吗?你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗?(2)这样变形是为了达到什么样的目的?像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.设计意图从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:“如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)a(a+1),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律
12、性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.思路二过渡语前面我们研究了数字的情况,下面我们看教材第92页做一做,关于字母的情况.观察下面的拼图过程,写出相应的关系式.解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2+2x+1=(x+1)2.像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.设计意图以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,
13、只要合理就都应给予鼓励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导.二、例题讲解过渡语刚刚我们学习了什么是因式分解,我们通过下面的几个例题来看看同学们理解得怎么样.(教材做一做)计算下列各式:(1)3x(x-1)=;(2)m(a+b-1)=;(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=.根据上面的算式进行因式分解:(1)3x2-3x=()();(2)ma+mb-m=()();(3)m2-16=()();(4)y2-6y+9=()().思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明.设计意图通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整
14、式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维.知识拓展对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆过程.3.因式分解要注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()A.x2-x-2=x(x-1)-2
15、B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x2-=解析:主要考查因式分解的概念.故选C.2.下列各式因式分解正确的是()A.a+b=b+aB.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1C.a(a-b)=a2-abD.a2-2ab+2a=a(a-2b+2)解析:主要考查因式分解的概念.故选D.3.把一个多项式化成的形式,这种变形叫做因式分解.答案:几个整式的积4.因式分解与整式乘法的关系是.答案:互为逆过程5.计算13-6+2的结果是.解析:利用因式分解可以简化计算.原式=(13-6+2)=9=7.故填7.1因式分解一、因式分解的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第93页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第94页习题4.1的1,2题.二
