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1、求函数值域（最值）的方法函数是中学数学的一个重点，而函数值域（最值）的求解方法更是一 个 常考点，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及 到的 知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位， 因此 能熟练掌握其值域（最值）求法就显得十分的重要，求解过程中若 方法运用 适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。 本文旨在 通过对典型例题的讲解来归纳函数值域（最值）的求法，希望 对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值 域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数y = kx+b （k0）的值域
2、为R.二次函数，=尼+加+c （gO），当0时的值域为气”pj,当*0时的值域为色二绡.，14a反比例函数y = - （k”0）的值域为 e Ry丰0. A指数函数y = / （a 0且 H1）的值域为yy 0.对数函数y = log, xa 0且a H1）的值域为R.正，余弦函数的值域为正，余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的常用方法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y刁一的值域f + 1解：X24-ll,.0-J0/. 一 yfx 0 2 Vx0),则原函数可化为：y = B .又因为/ = -v2 -6x-5 = -(x + 3)- +44
3、 ,所以 0S“S4，故，丽丘0,2,所以，=-5的值域为0,2.3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可 以化为A(y)，+3(y)x + C(y) = 0的形式，再利用判别式加以判断。例5、 求函数的值域 V=20恒成立，二函数的定义域为R.由，=得(y 一2)卫+(y + l)x+y-2 = 0 。x +x + 当 y-2 = 0 只口 y = 2 时，3x+0 = 0,.x = 0e7?; 当 y-20 即)V2 时，vxe/?时，方程(y-2)A： 2+(y + l)x+y-2 = 0 恒有实根= + l)2-4x(y-2)2 01 分 S5 且 y
4、 H 2.原函数的值域为1,5.例6、求函数y=x+Jx (2_x)的值域。解：两边平方整理得：2x2-2 (y+l) x+y2=0(1)vxeR, A=4 (y+l) 2-8y0解得：1-V2y0,得：0x2o由?(),仅保证关于x的方程：2x2-2 (y+l) x+y2=0在实数集R有 实 根，而不能确保其实根在区间0, 2上，即不能确保方程(1)有实根，由()求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为*, |可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0x0,二儿 in=, y=l+/2代入方程（1），解得：X 严- G 0, 2,即当x严土斗至时，原函数的值域为：0, 1+
5、血。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数土的值域。X+1分析与解：由于木题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出X,从而便于求出反函数。y =一反解得x =即）匚x + 12-y2-x知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：）0-8,2） U （2,+s）。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用己学过函数的有界性，反客为 主来确定函数的值域。适用类型:一般用于三角函数型，即
6、利用sinxe-l,l,cosxc-l,l等。例8、 求函数y =的值域。10 上都是增e +1解令留番原函数式可；产1曜yi，力在0)1”0, , 210.y-i解得：Ty1o故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y =且一的值域。sinx-3解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：yjy2 +1 sinx (x+ P) =3y,即 sinx (x+p)=+1VxeR, Asinx (x+p) e -i, 1。B!J-1A=1解 W： -#y0)配方得：f(x) = -(x - 2)2 + 4JW W/(x) e (0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知：y e 一 2
7、,+s) o 例 11、求函数 y 二 2+log(J 口(2x0，故原函数的值域为（0 , V2 o7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方 法 之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例13、求函数y = x + V7刁的值域。解：令(t0)贝 lj x=r+ 1解：令y =27 2= log； Jx-1,则yi,力在2,10 上都是增Vy=/2+t+l = (/+l)2 + l,又CO,由二次函数的性质可知 当t=O时，ymin= 1,1t 0 时，y +8。
8、故函数的值域为1 ,+8)。例14、求函数y =x+2+JL(x + 1)2的值域解：因 1-(a+1)20 ,即( + 1)21故可令 x+l=cos FL pe 0 , nio- - y=cosP+l + Vi-cos2 B =sinP+cosP+l= v,f2 sin(B+H/ 4)+1VOPn 0 SB+H/4S5H/4罕 Ssin ( P+D/4) SI0 V2 sin (P+f/4) +11+V2 o故所求函数的值域为0,1 + V，f2o例15、求函数二的值域x + 2, x+i解：原函数可变形为： 2 1 + x 1 + f可令 x=tgp,则有_L n=sin23,匕 A=c
9、os2(3 Zx2+ X + X *. y=-Asiii2px cos2P= _L siii4p当尸 kn/2-n/sw, y =i J max o当口二 kH/2+H/8 时，ymin=冷而此时tg 有意义。故所求函数的值域为卜,。 44例 16、求函数 y= (sinx+l) (cosx+1), xW 卜 H/12JJ/2的值域。解：y= (sinx+l)(cosx+1) =sinxcosx+sinx+cosx+1 令 sinx+cosx=t，贝 ij sinxcosx=- ( r-1)2y = - (r-1) +t+l= - (r + 1)22 2由 t=sinx+cosx= V2 si
10、n (x+J/4)且 xW- IJ/12, J/2可得：At0，可得 I x I 75故可令 x =v/5cosp, 0, fly=、，S cosp+4+、你 sin 二佰 sin( 0+ 口 /4) + 4/ o pn, n/4p+n/4 I AB I =10故所求函数的值域为：10, +8)例19、求函数-6x + 13 + Jf + 4x + 5的值域解：原函数可变形为：y=J(x3)，+ (02) + l(x+2+(0+1)AA(3,2)上式可看成x轴上的点P (x, 0)到两定点A (3, 2), B (-2 , -1 )的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ym.= I ab I = J(3+2)+(2+1)=局，故所求函数的值域为屈，+8)。例20、求函数y= j-6X + 13 -Jf + 4x + 5的值域解：将函数变形为：y=3)+(。一2)七&+2)、(0-1)上式可看成定点A (3, 2)到点P (x, 0 )的距离与定点B (-2, 1)到点P (x,
