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1、例在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为()(A)60或120(B)30或120(C)60(D)120D解：如图，OA=OB=5cm,AB=5jJcm.过O作OC上AB于C,则AC=lAB=|V3cm.当圆周角的顶点在优弧晶上时，得ZADB=60当圆周角的顶点在劣弧上时.得a为锐角，Aa=60AZAOB=120ZADB=120此弦所对的圆周角为60。或120说明：此题为基础题，求一条弦所对的圆周角.圆周角的顶点可以在这条弦所对的优孤上,也可以这这条弦所对的劣弧上.例(河南省，2002)已知：如图，以AABC的BC边为宜径的半圆交AB于D,交AC于E,过E作EF丄BC,垂足
2、为F,且BF:FC二5:1,AB=8,AE=2.求EC的长.分析：连结BE,构造直角三角形，并岀现典型的双垂直图形，通过解直角三角形解得.解：如图，连结BE,贝IJBE丄AC,BE2=AB2-AE2=82-22=60,设BF=5x,BC=6xVEFXBC,ZEBF=ZCBE,BEFsbCE,BE2=BFBC.BC=6x=6血，VEC2=BC2-BE2=72-60=12,AEC=2V2.说明：添加辅助线，构造直角三角形；构成典型的双垂直图形，非常重要.例(陕四省，2002)已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是缸的中点，AD丄BC于点D,BF交AD于点E.(1) 求证：
3、BEBF=BDBC：(2) 试比较线段BDtjAE的大小，并说明道理.分析：(1)连结FC,证BDEsABCF即可：(2)要比较两条线段的大小，通常是把两条线段转移到一个三角形内，利用大角对大边来判断.AABDEABCF.证明：(1)连结FC,则BF丄FC.在BCF中，VZBEC=ZEDB=90,ZEBC=ZEBDRFRD=，即BEBF=BDBCBCBF解:(2)AEBD,连结AC、AB,则ZBAC=90,VAB=AF,AZ1=Z2.XVZ2+ZABC=90,Z3+ZABD=90,.Z2=Z3,AAE=BE在RtZkEBD中,BEBD,AAEBD说明：训练学生添加辅助线；第(2)小问是教材P1
4、02中3题的拓展.例(太原市，2002)如图，已知BC为00的直径，AD丄BC,垂足为D,BF交AD于E,且AE=BF.F解：(1)连结AC.VBC是00的直径，AZBAC=90,又AD丄BC,垂足为D,AZ1=Z3.(1)求证：AB=AF；在ZkAEB中，AE=BE,AZ1=Z2.AZ2=Z3,AB=AF.(2)设DE=3x,VAD丄BC,sinZFBC=-,ABE=5x,BD=4x.5VAE=BE,AAE=5x,AD=8x.在RtAADB中，ZADB=90,AB=4逅,(8x)2+(4x)2=(45)2解这个方程，得x=l,/.AD=8说明：此题是教材P102中3题的变形：训练学生求线段长
5、度的方法：直接求和列方程求解.典型例题五例如图，等腰三角形中，AB=AC,顶角为40。，以英一腰A3为直径作半圆分别交AC.BC于E、D,求BD、DE、AE的度数.分析：一般在圆或半圆中要作岀一些辅助线构成直角.本题若连结AD,则A3为直径，AD和BC互相垂直，再应用等腰三角形三线合一的性质，问题就解决了.解连结AD,-AB为直径，.AD丄BCXvAB=AC,.-.ZBAD=1ZBAC=2O%BD=40,同理，DE=40,AE=180o-40o-40o=100说明：弧的度数等于它所对的圆心角的度数，也等于它所对的圆周角的度数的2倍.已知中有关于直径的条件时，常添辅助线使之构成直角三角形.典型例
6、题六例（辽宁省试题，2002）已知：如图，AB是00的半径，C是OO上一点，连结AG过点C作直线CQ丄AB于D（AD,求证：AC=DC由AB为直径可得，故证出结论.证明连结ADAB为0O的直径,.ZADP=90AC=CP.CD=AC=-AP2说明：这是证斜边中线的问题.典型例题十例如图，已知：AABC内接于00,D.E在BC边上，RBD=CE,Z1=Z2,求证：AB=AC分析：要证AB=AC,由题知，不能直接证出，故需添加辅助线，而由圆周角Z1=Z2,想到了作上1、Z2的对弧，构造弦等、弧等的条件.证明分别延长AD.AE,它们分别交OO于F、G,连结BF、CGZ1=Z2,Z*XBF=CG.BF
7、CG,BG=CF.ZFEC=ZGCE./.FDACGE,Z-XZF=ZGAB=ACAB=AC.说明：在圆中有相等的圆周角时常作它们所对的弧和弦，利用在圆周或等圆中相等的圆周角所对的弧等以及圆心角、弦、弦心距之间关系怎理证题.典型例题十例如图，AABC中，AB=ACyAC是OO的弦，BC交00于D,作ABAC的外角平分线AE交0O于E,连D求证：DE=AB.证明AB=ACt：.ZB=ZC.又ZFAC=ZB+ZC9AE平分ZE4C,ZEAC=ZFAE=ZB.AAE/BC又IZEAC=ZEDCtZB=ZEDCAB/DE.：.四边形ABDE是平行四边形.说明：本题考查圆周角左理的推论的应用，解题关键是
8、找到同弧所对的圆周角.典型例题十二例求证：三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边的高的积.已知如图，OO是AABC的外接圆，AD是AABC的髙，AE是的直径.a求证：ABAC=ADAE证明连结BE:AE是直径，ZABE=90.AD丄BC,ZADC=90.ZC=ZE,ADCsABE.ACAD:.一=一AC=ADA.AEAB说明：本题考査圆周角泄理的应用，题目的结论告诉我们一个求三角形外接圆直径的方法.解题关键是连构造MBE,易错点是忽视先写已知，求证.典型例题十三例如图.AB为00的眩，过两点任作一交AB于C,交于D.求证：CB=CD.证明连OA、OB、OD、BD则ZOBA=ZOAE、ZOAB=
9、ZODC.:.乙OBC=ZODC乙OBD=ZODB,:.ZCBD=ZCDB.：.CB=CD.说明：本题考査圆周角定理的应用，解题关键是作出辅助线，易错点是作错或作不岀正确的辅助线，使解题思路受阻.典型例题十四与BC的延长线相交于P,与AB相交于D.D例如图，AABC内接于OO,AB的垂直平分线OD与AB.AC分别相交于M.N,求证：oa2=onop证明连结03、OC,：OD垂直平分AS,z*/.AD=BD.乙AOD=ZBODZACB=-ZAOB,2ZAON=ZACP.SAONsPCN,ZOCA=.CONspoc.ZAOD=ZACB,又ZANO=乙PNC,ZOAC=乙P又ZOCA=ZOAC又乙CON=乙POCONOC荒一乔:.oc2=onop即：.O=ONOP说明：由于本题的结论可转化为oC2=ONOP.所以需要证明CONsPOC,而证这两个三角形相似的关键在于iiEZOCA=ZP：为此又需要证明AAONsPCN,要证这两个三角形相似，关键又在于证得ZAO=ZACP.观察图形特征，可发现这两个角XXXX的补角有如下关系：ZAOQ是AB所对圆心角ZAOB的一半，厶1C3是AB所对的圆周角.它也等于上AO的一半.这个关键问题一解决，本题便能顺利获证.这种图形具有一立的普遍意义，同学们应重点
